Bang Singular 최적제어의 이차 최적조건

본 논문은 제어가 선형(affine) 형태로 나타나는 동적 시스템에 대해, 제어 변수에 비음성 구속(u(t)≥0)을 부과하고, 최종 상태에 대해 다수의 등식·부등식 제약을 포함하는 일반적인 최적제어 문제를 다룬다. 문제는 다음과 같이 정의된다. 비용 함수 J=ϕ₀(x(T))를 최소화하고, 상태 방정식 ˙x(t)=∑_{i=0}^m u_i(t)f_i(x(t)) (u₀≡1)와 초기조건 x(0)=x₀을 만족한다. 제어 구속은 u(t)≥0이며, 최종 상태 제약 ϕ_i(x(T))≤0 (i=1,…,d_ϕ)와 η_j(x(T))=0 (j=1,…,d_η)를 가진다. 1. **문제 설정 및 기본 가정** - 상태와 제어 공간을 각각 X=W^{1,∞}(0,T;ℝⁿ)와 U=L^{∞}(0,T;ℝ^m)라 정의한다. - 데이터 함수 f_i, ϕ_i, η_j는 모두 두 번 연속 미분 가능하다고 가정한다. - 최적해 ˆw=(ˆx,ˆu)에 대해 모든 최종 제약이 활성화(=0)된다고 가정한다(식 (6)). 2. **1차 최적조건 (Pontryagin 최대 원리)** - 라그랑주 승수 λ=(α,β,ψ)∈ℝ^{d_ϕ+1}×ℝ^{d_η}×W^{1,∞}(0,T;ℝⁿ) 를 도입하고, 전라그랑주 H