트리폭 넓이의 Nordhaus Gaddum 정리

초록

저자들은 모든 n정점 그래프 G에 대해 트리폭 넓이 tw(G)와 그 보완 그래프 tw( \overline{G} )의 합이 최소 n‑2임을 증명하고, 이 경계가 정확함을 보였다. 핵심은 4‑사이클이 없고 k‑클리크가 없는 그래프는 트리폭이 적어도 n‑k임을 나타내는 보조 정리이다. 또한 k‑트리의 경우 경계가 정확히 달성되는 경우와 그렇지 않은 경우를 구분하고, 무작위 그래프에서 상한이 2n‑o(n)까지 접근함을 논한다.

상세 분석

논문은 Nordhaus‑Gaddum 유형의 정리를 트리폭 넓이라는 구조적 파라미터에 적용한다는 점에서 의미가 크다. 먼저 저자들은 “B는 G의 브램블이며, S는 B의 히팅 집합”이라는 정의를 이용해, 그래프에 4‑사이클이 없고 k‑클리크가 존재하지 않을 경우 V(G)\S가 완전 그래프가 됨을 보인다. 따라서 |S|≥n‑k+1이고, 트리폭 이중성 정리(트리폭 ≥ 브램블 차수‑1)로부터 tw(G)≥n‑k가 도출된다. 이 보조 정리(Lemma 2)는 메인 정리의 핵심 논증에 사용된다.

메인 정리의 증명에서는 G의 트리폭을 k라 두고, G를 포함하는 k‑트리를 H를 구성한다. H는 코어 k‑클리크와 그 외 정점들이 모두 코어에 인접한 형태이므로 4‑사이클이 없고 (k+2)‑클리크도 존재하지 않는다. Lemma 2를 적용하면 tw(H)≥n‑k‑2이며, H는 G의 스패닝 서브그래프이므로 tw(G)≥n‑k‑2가 된다. 이를 k와 교환하면 tw(G)+tw(\overline{G})≥n‑2가 얻어진다.

경계의 정확성은 k‑트리 Q_{k,n}을 이용해 보인다. Q_{k,n}은 k‑클리크와 그에 연결된 n‑k개의 잎 정점으로 이루어진 그래프이며, 이 경우 tw(G)+tw(\overline{G})=n‑1이 된다. 반면 Q_{k,n}이 아닌 모든 k‑트리에서는 위 증명과 동일한 방법으로 tw(G)+tw(\overline{G})≤n‑2가 성립한다. 따라서 n‑2가 최적 상한임을 확인한다.

추가적으로, 저자들은 girth≥5인 그래프에 대해 tw(G)≥n‑3임을 보이며, 무작위 그래프 G∈G(n,½)에 대해 거의 확실히 tw(G)=n‑o(n)임을 인용한다. 이는 tw(G)+tw(\overline{G})가 2n‑o(n)까지 접근할 수 있음을 의미한다. 마지막으로 Proposition 5에서는 두 그래프 G₁, G₂의 합집합이 tw(G₁)+tw(G₂)+3개의 정점으로 이루어진 클리크를 포함하지 못한다는 일반적 제한을 제시하고, 그 경계가 tw(G₁)+tw(G₂)+2까지는 달성 가능함을 보인다. 이 결과는 그래프 색칠 문제와 Ringel의 지구‑달 문제와 연관된 흥미로운 연구 방향을 제시한다.