일반 천국 방정식이 반자기이중 중력을 지배한다

초록

본 논문은 Doubrov와 Ferapontov가 제시한 일반 천국 방정식이 반자기이중(ASD) 리치-플랫 진공 중력 방정식을 완전히 기술한다는 것을 증명한다. 저자들은 해당 방정식으로부터 유도된 ASD 메트릭, 널 사변형, 1-형식 기저를 제시하고, 동차 다항식의 영점으로 표현되는 대수적 정확 해들을 구성한다. 중립 서명을 갖는 실해도 제시한다.

상세 분석

일반 천국 방정식은 네 변수 (z^{1},z^{2},z^{3},z^{4})와 종속 변수 (u) 사이의 2차 비선형 편미분 방정식으로, 기존의 천국 방정식 계열(예: Plebanski의 첫 번째·두 번째 천국 방정식)과는 달리 완전한 대칭성을 유지한다. 논문은 이 방정식이 반자기이중(ASD) 리치-플랫 메트릭을 생성하는 충분조건임을 보이기 위해, 먼저 ASD 조건을 복소 4차원 복합 다양체 위의 널 사변형 ({e^{i}})와 그에 대응하는 1-형식 ({\omega^{i}})의 구조로 전개한다.

핵심은 일반 천국 방정식이 (\Omega = du) 형태의 포텐셜을 통해 정의되는 2-형식 (\Omega_{ij}=u_{ij},dz^{i}\wedge dz^{j})의 폐쇄성((d\Omega=0))과 자가 이중성((*\Omega = -\Omega))을 동시에 만족하게 만든다는 점이다. 이때 메트릭은
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