수치적 입실론 전개를 통한 하이퍼지오메트리 함수 자동 확장

초록

NumExp 패키지는 차원 정규화에서 등장하는 하이퍼지오메트리 함수들을 작은 정규화 파라미터 ε에 대해 수치적으로 라우렌트 전개한다. 다중 정밀도 유한 차분법을 이용해 전개 계수를 직접 계산함으로써, 파라미터 제한이 거의 없고 발산·유한 부분을 동시에 추출할 수 있다.

상세 분석

본 논문은 물리학 특히 양자장론에서 루프 적분을 다룰 때 필연적으로 등장하는 하이퍼지오메트리 함수들의 ε‑전개를 전통적인 기호적 방법이 아닌 순수 수치적 방법으로 수행한다는 점에서 혁신적이다. 핵심 아이디어는 하이퍼지오메트리 함수를 정규화 파라미터 ε에 대한 라우렌트 급수
(F(ε)=\sum_{n=-N}^{\infty}c_n ε^n)
로 표현하고, 각 계수 (c_n)을 다중 정밀도(Arbitrary‑precision) 유한 차분(Finite Difference) 기법으로 추정한다는 것이다. 유한 차분은 함수값을 ε의 여러 작은 변위에서 샘플링하고, 차분 행렬을 역으로 풀어 계수를 얻는다. 이때 수치적 불안정성을 최소화하기 위해 차분 스텝을 동적으로 조정하고, 고정밀 연산을 통해 라운드오프 오류를 억제한다.

NumExp은 Mathematica와 Python 인터페이스를 제공해, 사용자는 기존에 익숙한 환경에서 `NumExp