드모르간 법칙을 만족하는 분류 토포스

초록

이 논문은 그루톤디크 토포스가 드모르간 법칙이나 배제법칙을 만족하는지를 판별하는 일반적인 절차를 제시하고, 이를 이용해 해당 법칙을 만족하는 클래스ifying 토포스를 갖는 기하학적 이론들을 구문론적으로 특징짓는다. 또한 주어진 프레시베 토포스의 국소화로 나타나는 분류 토포스의 모델 이론적 조건도 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 그루톤디크 토포스 𝔈가 드모르간 법칙을 만족하는지 여부를 결정하기 위해, 𝔈 안의 서브오브젝트 분류자 Ω의 내부 논리를 조사한다. 저자는 Ω가 드모르간 대수 구조를 이루는 경우와, 그 반대인 경우를 구분하는 ‘드모르간 사상’이라는 개념을 도입한다. 이 사상은 각 서브오브젝트 A에 대해 그 보수 ¬A와 이중 보수 ¬¬A 사이의 관계를 통해 Ω가 드모르간 대수인지 판단한다. 특히, Ω가 완전한 바이올레프 대수이면 𝔈는 부울 토포스가 되며, 이는 배제법칙을 만족함을 의미한다.

다음 단계에서는 이러한 토포스적 조건을 기하학적 이론 T의 구문론과 연결한다. 저자는 T의 서술적 제시법인 시그마-연산과 동등성 관계를 이용해, T의 모델 군이 Ω의 구조와 어떻게 대응되는지를 보인다. 구체적으로, T가 ‘드모르간 이론’이라면, 즉 모든 공식 φ에 대해 φ∨¬φ가 증명 가능하거나, φ∧¬φ가 모순이 되는 경우, 그 클래스ifying 토포스 Sh(T) 는 드모르간 법칙을 만족한다. 반대로, T가 부울 이론이면 모든 명제에 대해 φ∨¬φ가 증명 가능하므로 Sh(T) 는 부울 토포스가 된다.

또한 저자는 프레시베 토포스