R(4,8) 하한을 58로 끌어올린 새로운 SAT 기반 색칠법

초록

본 논문은 MiniSat을 기반으로 한 맞춤형 SAT 솔버와 Z‑제약을 이용해 K₅₇의 2‑색 엣지 색칠을 찾아 R(4,8) ≥ 58이라는 하한을 56에서 58로 개선하였다.

상세 분석

이 연구는 고전적인 라므시 수 R(s,t)의 하한을 구하는 문제를 SAT(부울 만족도) 문제로 변환하는 접근법을 제시한다. 기존의 직접적인 CNF 인코딩은 변수 수가 n², 절댓값이 n·s + n·t 수준으로 급격히 증가해 실용성이 떨어진다. 저자는 모든 엣지를 개별 변수 eᵢⱼ 로 두는 대신, 거리 k=j−i 에만 의존하는 Z‑변수 z_k 를 도입해 eᵢⱼ ↔ z_{j−i} 라는 제약(CNF 형태의 Z‑클라우스)을 추가함으로써 변수 수를 n−1 로 대폭 축소한다. 이 “Z‑제약”은 그래프가 순환 대칭성을 갖도록 강제해 탐색 공간을 크게 줄인다. 그러나 완전한 Z‑제약을 적용하면 일부 경우(예: R(4,7) n>46)에서 해가 존재하지 않음이 알려졌다. 이를 해결하기 위해 저자는 동적 페널티 기반의 제약 완화 기법을 도입한다. 탐색 중 충돌을 일으키는 Z‑클라우스에 페널티를 부여하고, 일정 횟수 실패 후 페널티가 높은 클라우스를 선택적으로 제거해 재시작한다. 또한 “불완전 Z”, “분할된 Z” 등 여러 변형을 실험해 부분적으로 제약을 완화하면서도 충분히 대칭적인 구조를 유지하도록 했다. 이러한 전략을 통해 저자는 기존에 알려진 R(4,7) 그래프 K₄₆을 기반으로 K₅₇까지 확장하는 색칠을 성공시켰다. 구체적으로는 K₄₈의 (4,7)‑색칠을 부분적으로 고정하고, 나머지 57·56/2−(48·47/2)개의 엣지를 SAT 솔버에 맡겨 해결하였다. Z‑제약을 두 차례 완화하면서 전체 Z‑클라우스의 약 25 %만 남겨두고, 1.87 × 10⁶초(≈21일)의 연산을 수행해 최종적으로 K₅₇의 (4,8)‑색칠을 얻었다. 이 색칠은 첫 번째 색(예: 검은색)으로 4‑클리크가 없고, 두 번째 색(흰색)으로 8‑클리크가 없음을 보장한다. 따라서 R(4,8) ≥ 58이라는 새로운 하한이 증명된다.