MAXCUT을 활용한 삼각형 화살표 문제의 새로운 상한

초록

이 논문은 에르되시‑하잔의 1967년 질문에 해당하는 Folkman 수 Fₑ(3,3;4) 의 상한을 개선한다. 기존에 941까지 알려진 상한을 최소 고유값 기법으로 860으로 낮춘 뒤, Goemans‑Williamson 반정밀도 프로그램(SDP) 기반의 MAX‑CUT 근사법을 적용해 786으로 더 감소시킨다. 핵심 아이디어는 그래프 G 의 삼각형 구조를 정점으로 하는 보조 그래프 H_G 의 최대 절단 크기를 분석함으로써 G 가 (3,3) 화살표 성질을 갖는지를 판정하는 것이다.

상세 분석

논문은 먼저 Folkman 수 Fₑ(3,3;4) 라는 개념을 정리하고, 이는 K₄‑free 그래프가 모든 2‑색 엣지 색칠에서 적어도 하나의 색에 삼각형을 강제하는 최소 정점 수를 의미한다는 점을 강조한다. 기존 연구에서는 확률적 존재 증명(Spencer, 1988)과 순환 그래프 G(941,5) 에 대한 최소 고유값 기반의 절단 상한을 이용해 Fₑ(3,3;4) ≤ 941을 얻었다. 저자들은 이 방법을 확장해 G(941,5) 에서 정점 81개를 제거한 부분그래프 G_C (860 정점)를 구성하고, 인접 행렬의 최소 고유값 λ_min ≈ −14.663을 이용해 식
MC(H_G_C) ≤ |E(H_G_C)|/2 − λ_min·|V(H_G_C)|/4 < 2·t_Δ(G_C)
를 만족함을 확인한다. 여기서 t_Δ(G) 는 G 의 삼각형 개수이며, 이 부등식은 Theorem 1에 의해 G_C → (3,3) 임을 보인다.

다음 단계에서는 Goemans‑Williamson SDP 이완을 적용한다. MAX‑CUT 문제를
max ½∑{i<j} w{ij}(1−v_i·v_j)
subject to ‖v_i‖=1
의 형태로 변형하고, SDP 해의 목적값이 실제 최대 절단값의 상한이 됨을 이용한다. 저자들은 SDPLR‑MC와 SBmethod 두 가지 대규모 SDP 솔버를 사용해 다양한 순환 그래프와 무작위 그래프에 대해 실험을 수행했다. 특히 L(785,53) 에 한 정점을 추가해 만든 그래프 G_786 (786 정점, 6129 에지, 42881 삼각형) 에 대해 SDP 해가
MC(H_G_786) ≤ 85775.3
을 제공했으며, 이는 2·t_Δ(G_786)=85762 보다 약간 큰 값이지만, 별도의 SpeeDP 알고리즘을 통해 얻은 하한 85774.2 ≤ MC(H_G_786) ≤ 85775.0 과 결합하면 실제 절단값이 2·t_Δ(G_786) 보다 작음이 증명된다. 따라서 G_786 은 (3,3) 화살표 성질을 만족하고, Fₑ(3,3;4) ≤ 786을 얻는다.

논문은 또한 λ_min 기반 상한과 SDP 기반 상한이 대부분의 후보 그래프에서 일치함을 관찰한다. 이는 고유값 방법이 이미 꽤 강력하지만, SDP 이완이 특히 복잡한 구조(예: L(127,5) 와 같은 그래프)에서 더 촘촘한 상한을 제공할 수 있음을 시사한다. 마지막으로 저자들은 현재도 G(127,3) (즉 L(127,5)) 의 화살표 여부가 미해결 문제이며, 이를 해결하기 위한 추가적인 SDP 혹은 구조적 분석이 향후 연구 과제로 남아 있음을 강조한다.