마피아 게임의 수학적 모델링과 승률 분석

초록

본 논문은 파티 게임 ‘마피아’를 순수 사망 과정(pure death process)으로 모델링하고, 이산 시간 프레임에서 시민과 마피아 각각의 승리 확률 w(n,m)을 폐쇄형식으로 유도한다. 결과는 전체 인원 N=n+m에 대해 마피아 인원 m이 √N 정도일 때 양측의 승률이 동일해짐을 보여주며, 총 인원 수의 짝·홀 여부가 승률에 결정적인 영향을 미친다는 흥미로운 정수를 발견한다. 또한 연속시간 근사와 이산 모델 간의 차이를 분석한다.

상세 요약

논문은 마피아 게임을 “두 그룹(시민 n, 마피아 m)이 번갈아가며 사망자를 결정하는 순수 사망 과정”으로 단순화한다. 하루는 시민이 투표로 한 명을 사형시키는 단계, 밤은 마피아가 한 명을 살해하는 단계로 구성되며, 매 라운드마다 총 인원 수가 1씩 감소한다는 가정이다. 이산 시간 마코프 체인으로 모델링하면 상태 (n,m)에서 다음 상태는 (n‑1,m) 혹은 (n,m‑1)이며 전이 확률은 각각 시민이 사형당할 확률 p_D와 마피아가 살해당할 확률 p_K에 의해 결정된다. 저자는 투표 메커니즘을 “시민이 무작위로 한 명을 선택한다”는 단순화로 전이 확률을 p_D = n/(n+m) 로, 마피아는 “무작위 시민을 살해”하므로 p_K = n/(n+m) 로 설정한다. 이때 승리 확률 w(n,m)은 경계 조건 w(0,m)=0, w(n,0)=1을 만족하는 2차 차분 방정식
w(n,m)= (n/(n+m))·w(n‑1,m) + (m/(n+m))·w(n,m‑1)
의 해가 된다. 저자는 이 방정식을 반복 대입과 조합론적 인덱싱을 통해
w(n,m)= Σ_{k=0}^{m‑1} C(n+m‑1, k) / 2^{n+m‑1}
와 같은 폐쇄형식으로 정리한다. 여기서 C는 이항계수를 의미한다. 이 식은 승률이 전체 인원 N에 대한 이항분포 누적확률과 동일함을 보여준다. 특히 m≈√N 일 때 w≈½ 가 되며, 이는 마피아가 전체 인원의 제곱근 정도만 있어도 균형을 이룬다는 직관적이면서도 강력한 결과다.

또한 저자는 N의 짝·홀에 따른 “parity effect”를 발견한다. N이 짝수이면 마지막 라운드가 시민의 투표 단계가 되고, 홀수이면 마피아의 살해 단계가 마지막이 된다. 이 차이는 w(n,m)의 미세한 비대칭을 야기해, 같은 (n,m) 쌍이라도 N의 parity에 따라 승률이 약간씩 달라진다.

연속시간 근사에서는 전이율 λ_D = n/(n+m)·Δt, λ_K = m/(n+m)·Δt 로 두고 Δt→0 한계에서 미분 방정식 d w/dt = … 를 얻는다. 저자는 이 근사가 실제 이산 모델과 수치적으로 거의 일치함을 시뮬레이션으로 검증한다.

모델의 한계는 투표가 완전 무작위라는 가정, 마피아가 시민을 정확히 한 명만 살해한다는 점, 그리고 정보 비대칭(마피아가 서로를 안다는 점)을 전혀 반영하지 않았다는 점이다. 그럼에도 불구하고 단순한 사망 과정으로도 게임의 핵심 역학을 정량화할 수 있음을 보여준다.