비균질 랜덤워크와 세포의 서브디퓨시브 이동 및 비정상 화학주성

초록

본 논문은 공간적으로 비균질하고 시간적으로 비국소적인 랜덤워크 모델을 통해 세포의 서브디퓨시브(아래확산) 이동을 기술한다. 마코프 구조화 확률밀도 함수를 시작점으로 비국소 마스터 방정식과 그에 대응하는 분수 미분 방정식을 유도하고, 이상 지수의 부분 변동에 대한 구조적 불안정성을 분석한다. 또한 반무한 도메인에서 비정상적인 세포 집합 현상이 발생하는 조건을 제시한다.

상세 분석

본 연구는 기존의 균일한 매질에서 정의된 연속 시간 랜덤워크를 확장하여, 전이 확률이 위치에 따라 달라지는 비균질 환경을 고려한다. 저자들은 입자(세포)의 나이와 위치를 동시에 기술하는 구조화 확률밀도 함수 p(x, τ, t)를 도입하고, 이를 기반으로 비국소(시간적 메모리) 마스터 방정식
∂ₜp = −∂_τp − λ(x, τ)p + ∫₀^∞ λ(x, τ′)p(x, τ′, t)dτ′
을 도출한다. 여기서 λ(x, τ)는 위치‑시간 의존적인 탈착률이며, 파워‑로우 형태 λ∝τ^{−1−α(x)} 로 가정함으로써 공간에 따라 다른 서브디퓨시브 지수 α(x)∈(0,1)를 구현한다.

시간 적분을 수행해 전체 위치 확률밀도 P(x,t)=∫₀^∞ p(x,τ,t)dτ를 얻으면, 비국소 커널 K_α(x,t)와 결합된 분수 미분 형태의 연속 방정식이 나타난다. 구체적으로는
∂ₜP(x,t) = ∂ₓ