배타적 유전자 스위치의 비평형 정적 해와 대칭 붕괴 분석

초록

본 논문은 두 종류 단백질이 하나의 결합 부위를 독점적으로 점유하는 배타적 유전자 스위치를 모델링하고, 마스터 방정식으로 기술된 비평형 정상 상태를 정확히 해석한다. 결합·해리 속도가 극한인 경우의 해와 평균장 이론, 그리고 1차·2차까지의 섭동 해를 제시하며, 수치 시뮬레이션을 통해 일반적으로 이 시스템이 이중안정성을 보이며 대칭이 깨진 상태에 머무른다는 것을 확인한다.

상세 분석

논문은 먼저 두 유전자(또는 두 경쟁 집단)와 하나의 단일 프로모터 부위로 구성된 배타적 스위치 모델을 정의한다. 상태 변수는 자유 단백질 수 N₁, N₂와 결합 상태 S(0: 비결합, 1: X₁ 결합, 2: X₂ 결합)이며, 단백질 생성(g), 분해(d), 결합(b), 해리(u) 네 가지 반응으로 마스터 방정식(1‑3)을 구축한다. 모델은 1↔2에 대한 완전한 대칭을 갖지만, 결합이 일어나면 한 종류 단백질이 억제되어 다른 종류는 급격히 소멸한다는 비대칭적인 동역학을 내포한다.

정밀한 분석을 위해 두 극한을 고려한다. (i) b, u →0이면서 결합 상수 k=bu 고정인 경우, 결합·해리 과정이 매우 느리므로 스위치 상태가 고정된 채 단백질 수는 포아송 분포를 따른다. 이때 각 스위치 상태의 존재 확률 r₀, r₁, r₂는 상세히 계산되어 r₁=r₂=k·g/d·(1+2k·g/d)⁻¹, r₀=(1+2k·g/d)⁻¹이 된다. k→∞이면 대칭 상태(r₀)가 사라지고 두 비대칭 상태만 남아 전이 시간이 무한히 커짐으로써 강한 대칭 붕괴가 일어난다.

(ii) b, u →∞인 경우, 결합·해리 과정이 매우 빠르므로 스위치 상태는 즉시 평형을 이루고, 전체 확률은 P(N₁,N₂)와 결합 확률 r_S(N₁,N₂)로 분리된다. r₀=