단순 재작성 시스템으로부터 생성되는 복합 네트워크

초록

이 논문은 각 정점에 빨강·파랑·초록 세 색의 간선이 할당된 3차 트리넷 위에서 ‘작가(writer)’가 주변 상태에 따라 이동·수정하는 매우 단순한 규칙 집합을 탐구한다. 3 888개의 가능한 자동화 규칙을 시뮬레이션하고, 그 결과 나타나는 네트워크 형태와 동역학을 분류·분석한다. 일부 규칙은 자연계의 식물·동물 형태와 유사한 구조를 자동으로 생성한다는 점이 강조된다.

상세 분석

본 연구는 ‘컬러드 트리넷 자동화(colored trinet automata)’라는 새로운 모델을 제시한다. 모델의 핵심은 3‑정규 그래프(각 정점이 정확히 3개의 간선을 갖는 그래프) 위에 색상(빨강, 파랑, 초록)으로 구분된 간선 집합을 두고, 하나의 이동 주체인 ‘작가(writer)’가 현재 정점의 주변 색 구성에 따라 사전 정의된 재작성 규칙을 적용해 그래프를 확장하거나 변형한다는 점이다. 작가는 현재 정점에서 색이 지정된 간선을 따라 이동하고, 도착한 정점에서 규칙에 따라 새로운 정점·간선을 삽입하거나 기존 간선을 재배치한다.

3888개의 규칙 집합은 ‘작가가 보는 주변 색 패턴(3가지 색 중 2가지 조합)’과 ‘작가가 수행할 수 있는 9가지 기본 연산(삽입, 삭제, 색 교환 등)’을 조합해 생성되었다. 시뮬레이션 결과는 크게 네 가지 동역학적 패턴으로 구분된다. 첫째, 정적/주기적 패턴으로, 네트워크가 일정 크기 이하에서 멈추거나 주기적으로 동일한 형태를 반복한다. 둘째, 선형 성장 패턴으로, 매 단계마다 일정한 수의 정점이 추가되어 길이(또는 반경)만 증가하고 전체 토폴로지는 거의 변하지 않는다. 셋째, 다중분기 성장 패턴으로, 작가가 특정 색 조합을 만나면 분기가 발생해 트리 형태가 급격히 확장된다. 넷째, 혼돈/복합 패턴으로, 성장 속도가 비선형이며, 국소적인 규칙 충돌이 전역적인 복잡성을 야기한다.

특히 흥미로운 것은 몇몇 규칙이 자연 형태와 놀라울 정도로 유사한 구조를 만든다는 점이다. 예를 들어, 특정 규칙은 나뭇가지가 점차 굵어지며 잎사귀가 원형으로 배열되는 ‘식물형’ 네트워크를, 또 다른 규칙은 격자형 패턴이 점차 비틀리면서 ‘조개껍질형’ 혹은 ‘소용돌이형’ 구조를 생성한다. 이러한 현상은 단순한 로컬 규칙이 전역적인 형태를 어떻게 결정하는지를 보여주는 좋은 사례가 된다.

수학적 분석 측면에서는, 작가의 이동 경로를 마코프 체인으로 모델링하고, 규칙에 따른 그래프 변형을 연산자(예: 그래프 라플라시안 변형)로 표현한다. 이를 통해 선형 성장 규칙은 고정점(steady‑state) 혹은 주기적 궤도에 수렴함을 증명하고, 다중분기 성장 규칙은 임계값(critical threshold) 이상의 색 조합이 나타날 때 급격한 차수 증가가 일어나는 것을 보였다. 또한, 복합 규칙에 대해서는 엔트로피 증가율을 계산해 ‘혼돈’ 구간을 정량화하였다.

결과적으로, 이 연구는 극히 제한된 로컬 연산만으로도 다양하고 복잡한 전역 네트워크를 생성할 수 있음을 실험과 이론을 겸해 입증한다. 이는 복잡계 이론, 자기조직화, 그리고 알고리즘적 그래프 생성 분야에 새로운 모델링 도구를 제공한다는 점에서 의의가 크다.