곡률이 다른 구면 위의 3차 적분을 가진 초적분 가능 계량

초록

이 논문은 표면 위의 리만 계량 중에서, 측지 흐름이 운동량에 대해 1차와 3차 적분을 동시에 갖는 경우를 완전히 분류한다. 선형 적분은 킬링 벡터에 대응하고, 3차 적분은 다항식 형태의 보존량이다. 저자들은 지역적인 해를 구하고, 일부 해를 2-구면으로 연장함으로써 비정상 곡률을 갖는 닫힌 표면 위의 새로운 초적분 가능 시스템을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 두 차원 리만 계량 (g)에 대해 측지 흐름 해밀토니안 (H=\frac12 g^{ij}p_i p_j)가 선형 적분 (L=\alpha^i p_i)와 3차 적분 (F=\sum_{k=0}^3 f^{i_1\cdots i_k}p_{i_1}\cdots p_{i_k})를 동시에 보존한다는 가정을 둔다. 선형 적분이 존재한다는 것은 계량이 하나의 킬링 벡터 (X)를 갖는다는 의미이며, 이는 좌표 변환을 통해 (X=\partial_y) 형태로 정규화할 수 있다. 따라서 계량은 (g= \lambda(x),dx^2 + \mu(x),dy^2) 형태가 되며, (\lambda,\mu)는 한 변수 (x)만의 함수이다.

다음으로 3차 적분 (F)의 존재 조건을 포아송 괄호 ({H,F}=0) 로 전개하면, 계량 함수 (\lambda,\mu)와 3차 적분의 계수 함수 사이에 일련의 비선형 미분 방정식이 도출된다. 저자들은 이 방정식들을 체계적으로 정리하여, 결국 하나의 3차 비선형 ODE \