빈도주의 신뢰구간과 베이즈 신뢰구간의 연결 고리

초록

본 논문은 빈도주의와 베이즈 접근법 사이의 신뢰구간 차이를 해소하기 위해, 관측값 xₒᵦₛ에 의존하는 “빈도주의 베이즈 사전” π_f(λ,xₒᵦₛ)=−∫_{−∞}^{xₒᵦₛ}∂f(x,λ)/∂λ dx / f(xₒᵦₛ,λ) 를 정의한다. 이 사전을 사용하면 베이즈 신뢰구간이 빈도주의 신뢰구간과 동일하게 된다. 여러 전형적인 분포(정규, 포아송 등)에서 π_f는 제프리 사전과 일치하지만, 모든 경우에 일치하는 것은 아니다는 점을 강조한다.

상세 분석

논문은 먼저 신뢰구간과 신뢰구간(credible interval)의 정의 차이를 명확히 구분한다. 빈도주의에서는 파라미터 λ가 고정된 값이며, 데이터 x가 확률분포 f(x,λ) 에 따라 변한다. 따라서 “신뢰구간”은 반복 실험에서 일정 비율(예: 95 %)의 경우에 실제 파라미터를 포함하도록 설계된 구간이다. 반면 베이즈에서는 λ를 확률변수로 보고, 사전분포 π(λ)와 관측값 xₒᵦₛ를 이용해 사후분포 p(λ|xₒᵦₛ) 를 만든 뒤, 그 사후분포에서 일정 확률 질량을 차지하는 구간을 “신뢰구간”이라 부른다. 두 접근법이 동일한 구간을 제공하려면, 사전 π(λ) 가 특별한 형태를 가져야 한다는 것이 핵심이다.

저자는 이를 위해 “빈도주의 베이즈 사전” π_f(λ,xₒᵦₛ) 를 도출한다. 시작점은 빈도주의 신뢰구간을 정의하는 누적분포함수 F(x,λ)=∫_{−∞}^{x}f(t,λ)dt 이다. 신뢰구간의 상한 λ_U 는 F(xₒᵦₛ,λ_U)=α (α는 유의수준) 을 만족한다. 양변을 λ 에 대해 미분하고, 베이즈 사후분포 p(λ|xₒᵦₛ)∝f(xₒᵦₛ,λ)π(λ) 와 비교하면, 동일한 λ_U 를 얻기 위해서는
π_f(λ,xₒᵦₛ)=−