대기열 네트워크의 Lyapunov 지수 평가와 일반화 선형 동역학 모델

초록

본 논문은 멱등대수 기반의 일반화 선형 확률 동역학 시스템에서 Lyapunov 지수의 존재조건을 제시하고, 특정 형태의 시스템 행렬에 대해 지수를 계산하는 방법을 제안한다. 이를 통해 다양한 대기열 네트워크(개방·폐쇄 연쇄, 포크‑조인, 라운드‑로빈 라우팅 등)의 평균 서비스 사이클 시간을 Lyapunov 지수로 평가한다.

상세 분석

논문은 먼저 멱등대수(idempotent algebra)와 Max‑plus algebra를 이용해 선형 확률 동역학 시스템을 기술한다. 시스템 상태 벡터 x(k)와 전이 행렬 A(k) 사이의 관계를 x(k+1)=A(k)⊗x(k) 형태로 표현하고, 여기서 ⊗는 최대값 연산과 덧셈을 결합한 연산자를 의미한다. 이러한 모델은 서비스 시간, 대기 시간, 버퍼 용량 등 대기열 네트워크의 핵심 요소를 자연스럽게 포착한다.

Lyapunov 지수 λ는 장기 평균 성장률 λ=lim_{k→∞} (1/k)‖x(k)‖ 로 정의되며, 이는 시스템의 안정성 및 성능을 판단하는 핵심 지표가 된다. 저자는 먼저 λ가 존재하기 위한 일반적인 충분조건을 제시한다. 구체적으로, 전이 행렬 A(k)의 기대값 E