확률 동적 시스템 상태벡터 성장률 경계

초록

본 논문은 멱등 대수(아이덴티티 연산)로 표현된 선형 벡터 방정식 형태의 확률 동적 시스템을 대상으로, 시스템 상태벡터의 평균 성장률에 대한 간단한 상·하한을 제시한다. 제안된 경계의 절대 오차를 분석하고, 시험 시스템에 대한 수치 실험을 통해 경계의 실효성을 확인한다.

상세 분석

본 연구는 전통적인 선형 대수와는 달리 최대-덧셈(max‑plus) 대수라 불리는 멱등 대수를 기반으로 한 확률 동적 시스템을 모델링한다. 이때 시스템은 x(k+1)=A(k)⊗x(k) 형태의 재귀식으로 기술되며, A(k)는 시간에 따라 독립적인 확률 행렬, ⊗는 멱등 대수의 곱(즉, 행렬 원소 간의 덧셈) 연산을 의미한다. 이러한 구조에서는 상태벡터 x(k)의 각 성분이 시간에 따라 기하급수적으로 성장하거나 감소할 수 있는데, 그 평균 성장률 λ=lim_{k→∞} (1/k)E