복잡도와 엔트로피 인과 평면을 이용한 2차원 패턴 복잡도 측정

초록

본 논문은 순열 엔트로피와 상대 엔트로피 지수를 결합한 복잡도‑엔트로피 인과 평면(CEP)을 2차원 및 고차원 데이터에 적용하는 방법을 제시한다. 수치 실험과 실제 이미지(프랙탈 지형, 액정 텍스처, 이징 모델 표면)를 통해 제안 기법이 Hurst 지수와 온도 임계점 등 기존 물리량과 일관된 결과를 보이며, 서로 다른 상을 효과적으로 구분함을 입증한다.

상세 분석

이 연구는 복잡계 분석에 널리 사용되는 순열 엔트로피(Permutation Entropy, PE)를 2차원 배열에 직접 확장하는 방식을 채택한다. 기존 1차원 시계열에 적용되는 PE는 데이터 포인트를 일정 길이의 순열 패턴으로 변환하고, 각 패턴의 출현 빈도로부터 엔트로피를 계산한다. 저자들은 이를 2차원 격자에 적용하기 위해, 정사각형 혹은 직사각형 윈도우를 이동시키며 각 윈도우 내부의 픽셀 값을 순위화하고, 그 순위 패턴을 2차원 순열 코드로 매핑한다. 이렇게 얻어진 패턴 분포는 전체 이미지에 대한 확률 분포로 집계되어, 표준화된 엔트로피 H와 복잡도 C를 동시에 산출한다. 복잡도는 엔트로피와의 상호작용을 나타내는 상대 엔트로피 지수(D)와 결합해 정의되며, 이는 복잡도‑엔트로피 인과 평면(CEP) 상에서 점을 위치시킨다.

핵심적인 기술적 기여는 다음과 같다. 첫째, 윈도우 크기와 겹침 비율을 파라미터화함으로써 다양한 스케일에서 구조적 정보를 포착한다. 둘째, 2차원 순열 패턴의 총 개수가 (d1·d2)! 로 급격히 증가함을 고려해, 실용적인 차원(d1, d2) 선택과 충분한 샘플링을 위한 최소 이미지 크기를 제시한다. 셋째, 엔트로피와 복잡도 사이의 관계를 정량화하기 위해, 엔트로피가 최대(완전 무작위)일 때 복잡도가 최소가 되는 이론적 경계선을 도출하고, 실제 데이터가 이 경계선에 얼마나 근접하는지를 시각화한다.

실험에서는 네 가지 사례를 다룬다. (i) 프랙탈 지형에서는 Hurst 지수와 복잡도 사이에 강한 상관관계가 관찰되었으며, H가 0.5에 가까울수록 복잡도가 낮아지는 경향을 보였다. (ii) 액정 텍스처에서는 온도 변화에 따른 상전이(Nematic‑Isotropic‑Nematic)를 CEP 상에서 명확히 구분할 수 있었고, 전이점 근처에서 복잡도가 급격히 상승한다는 특징이 드러났다. (iii) 12가지 대표 액정 텍스처를 대상으로 한 분류 실험에서는 각 텍스처가 서로 다른 CEP 좌표에 위치해, 복잡도 기반의 자동 분류 가능성을 시사한다. (iv) 2차원 이징 모델 표면에서는 온도에 따른 CEP 궤적이 임계 온도 Tc에서 급격히 변곡점을 보였으며, 이는 전통적인 열역학적 임계점 탐지와 일치한다. 또한, 노이즈 추가 실험을 통해 제안 방법이 데이터 양과 잡음 수준에 비교적 강인함을 확인했다.

이러한 결과는 복잡도‑엔트로피 인과 평면이 2차원 패턴의 구조적 복잡성을 정량화하고, 물리적 파라미터(예: Hurst 지수, 온도)와 연결시키는 유용한 도구임을 입증한다. 특히, 이미지 기반 실험에서 전통적인 스펙트럼 분석이나 프랙털 차원 추정보다 계산 비용이 낮고, 직관적인 시각화가 가능하다는 장점이 있다. 향후 연구에서는 고차원(3D 볼륨) 데이터, 비정상적인 경계 조건, 그리고 딥러닝 기반 전처리와의 결합을 통해 복잡도 측정의 적용 범위를 확대할 여지가 있다.