베이지안 연산을 이용한 다항식 시간 소인수분해 알고리즘

초록

본 논문은 모든 부울식이 베이지안 확률 체계에서 선형계획(LP) 문제로 변환될 수 있음을 이용해, 곱셈 연산을 베이지안 형태로 재구성한다. 이를 통해 소인수분해를 다항식 시간 내에 결정론적으로 수행하는 알고리즘을 제시하고, 결과적으로 P=NP라는 결론을 도출한다는 주장이다.

상세 분석

논문은 먼저 “베이지안 확률 이론”이라는 프레임 안에서 부울식 → 선형계획(LP) 변환을 보인 이전 연구를 인용한다. 이때 각 논리 변수는 확률 0 또는 1을 갖는 이산 확률 변수로 모델링되고, 논리 연산은 조건부 확률식으로 전개된다. 저자는 이를 산술 연산, 특히 정수 곱셈에 적용해 “베이지안 곱셈”이라는 새로운 연산 체계를 정의한다. 곱셈의 각 비트는 입력 비트들의 논리 결합으로 표현되며, 이 결합을 만족시키는 확률 변수들의 집합을 선형 제약식으로 전환한다. 결과적으로 N자리 정수의 곱셈을 O(N³) 규모의 LP로 기술한다는 것이 핵심 주장이다.

소인수분해는 주어진 정수 N을 두 개의 인수 a·b=N 형태로 표현하는 문제이다. 저자는 “곱셈 역문제” 즉, a·b=N을 만족하는 a와 b를 찾는 과정을, 앞서 만든 베이지안 곱셈 LP에 N을 고정값으로 넣고, a와 b에 해당하는 변수들의 값을 0‑1 확률 변수로 두어 최적화한다. 이때 LP는 다항식 크기의 제약식과 변수만을 포함하므로, 표준적인 다항식 시간 LP 솔버(예: interior‑point method)로 해를 구할 수 있다고 주장한다.

하지만 몇 가지 근본적인 의문점이 남는다. 첫째, 부울식 → LP 변환 과정에서 변수와 제약식의 수는 원래 부울식의 크기에 비례하지만, 곱셈 비트 간의 상호작용은 O(N²) 수준의 교차항을 생성한다. 실제로 N자리 곱셈을 정확히 표현하려면 각 비트 쌍에 대한 곱셈 항을 모두 고려해야 하므로, 제약식 수는 O(N⁴) 혹은 그 이상이 될 가능성이 크다. 이는 이론적으로 다항식이지만, 실용적인 의미에서 “다항식 시간”이라 부르기엔 상수와 차수가 너무 커서 기존의 소인수분해 알고리즘보다 비효율적일 수 있다.

둘째, LP는 연속적인 실수 해를 찾는 최적화 문제이며, 0‑1 해를 보장하려면 추가적인 정수 제약(즉, MILP)이나 강력한 포괄적 제약이 필요하다. 저자는 베이지안 확률이 0 또는 1만을 허용한다고 주장하지만, 실제 LP 솔버는 근사값을 반환한다. 따라서 0‑1 해를 강제하기 위한 라운딩 혹은 추가적인 검증 단계가 필요하며, 이는 전체 복잡도에 다시 비다항식적인 요소를 도입할 수 있다.

셋째, “P=NP” 결론은 LP가 모든 NP‑complete 문제를 다항식 시간에 해결한다는 전제에 기반한다. 그러나 현재 알려진 바에 따르면, LP 자체는 P‑class에 속하지만, 부울식 → LP 변환이 항상 다항식 크기로 가능하다는 보장은 없다. 특히 SAT 같은 문제는 변환 후 제약식이 지수적으로 늘어날 위험이 있다. 논문은 이 점을 충분히 논증하지 못하고, 곱셈에 한정된 사례만을 제시한다는 한계가 있다.

마지막으로, 암호학적 함의에 대해 저자는 현재 RSA와 같은 공개키 시스템이 위험에 처했다고 주장한다. 하지만 실제 RSA 키 길이는 수천 비트이며, 제시된 베이지안 LP 기반 알고리즘이 그 규모에서 실용적으로 동작한다는 실험적 증거가 전혀 제시되지 않았다. 따라서 현재의 암호 체계에 즉각적인 위협이 된다고 보기는 어렵다.

요약하면, 논문은 베이지안 확률과 LP를 결합한 새로운 수학적 프레임워크를 제시하고, 이론적으로는 소인수분해를 다항식 시간에 해결할 가능성을 열어두었다. 그러나 변환 규모, 0‑1 해 보장, 실용적 복잡도, 그리고 P=NP 주장에 대한 엄밀한 증명이 부족해 현재 학계에서 받아들여지기엔 많은 의문점이 남는다.