비정형 계수의 에이코날 방정식 정규성 및 반볼록성 연구

초록

본 논문은 공간 변수에 대해 Hölder 연속성을 갖는 비정형 계수를 가진 에이코날형 해밀턴-자코비 방정식 $H(x,-Du)=1$의 해가 지역적으로 거듭볼록(semiconcave)함을 보이며, 핵심은 연관된 미분 포함식의 극점 궤적이 $\mathcal C^{1,\alpha}$ 정규성을 가진다는 점이다.

상세 분석

논문은 먼저 $H:\mathbb R^{N}\times\mathbb R^{N}\to\mathbb R$가 (SA)라 불리는 네 가지 기본 가정을 만족한다고 가정한다. 구체적으로 $x$에 대해 $2\alpha$-Hölder 연속이며, $p$에 대해 양의 동차성 1과 선형 성장 $r|p|\le H(x,p)\le R|p|$를 갖고, $p\neq0$에서 $C^{1}$이며 (5)식에 의해 $D_{p}H$의 강한 단조성(곡률 하한·상한)도 확보한다. 이러한 가정은 $F(x)=\operatorname{co}{D_{p}H(x,p):p\neq0}$가 $2\alpha$-Hölder 연속하고, $B(0,r)\subset F(x)\subset B(0,R)$인 집합값 지도임을 보인다.

핵심 기술은 미분 포함식 $x’(t)\in F(x(t))$의 극점 궤적이 $\mathcal C^{1,\alpha/2}$-정규성을 가진다는 정리(정리 4.1)이다. 이를 위해 저자들은 $F$의 곡률 추정식(9), (10)과 $D_{p}H$의 Lipschitz‑like 추정식(5)를 활용해 $f_{p}(x)=D_{p}H(x,p)$가 $x$에 대해 $\alpha$-Hölder 연속함을 보이고, $p$에 대한 변동성도 (Lemma 3.4)로 제어한다. 이후 $H$의 극대화-극소화 쌍인 극점 함수 $H_{0}$를 도입해 $F$와 $F_{0}$ 사이의 쌍대 관계를 정리하고, $D_{q}H_{0}$가 $q$에 대해 0차 동차이며 $|D_{q}H_{0}(x,q)-D_{q}H_{0}(x,q’)|\le C|q-q’|$임을 증명한다(Lemma 3.9). 이러한 결과들을 조합하면, 극점 궤적 $\bar x$에 대해 $\bar p(t)=D_{q}H_{0}(\bar x(t),\bar x’(t))$를 정의하고 $\bar x’(t)=D_{p}H(\bar x(t),\bar p(t))$라는 Hamiltonian 시스템 형태를 얻는다. 곡률 하한을 이용한 에너지 추정과 Hölder 연속성으로부터 $\bar x’$가 $\alpha/2$-홀더 연속임을 얻어 (27)을 증명한다.

정리 5.1에서는 위 결과를 이용해 원래의 해밀턴-자코비 방정식의 고유 해 $u$가 $\omega(t)=Ct^{\theta}$ 형태의 파워‑모듈러스를 갖는 지역 반볼록성을 가진다. 여기서 $\theta$는 $\alpha$와 $N$에 의해 결정된다. 반볼록성은 최적 제어와 특이점 전파 분석에 핵심적인 도구이며, 본 논문은 공간 변수에 대한 비정형 Hölder 연속성만을 가정함으로써 기존 문헌보다 훨씬 일반적인 상황을 다룬다. 또한 극점 궤적의 정규성 결과는 독립적인 관심사인 미분 포함식 이론에도 새로운 기여를 제공한다.