숨겨진 특성으로 보는 근사 다면체 볼록 집합의 완전 판별법

초록

이 논문은 Banach 공간에서 닫힌 볼록 집합 (C)가 임의의 정밀도 (\varepsilon>0)에 대해 다면체 집합으로 근사될 수 있는지(근사 다면체성)와, (C)가 속한 Hausdorff 거리 성분 (H_C)가 가산밀도(또는 가산 분리가능성)를 갖는 조건이 서로 동치임을 보인다. 또한 이러한 성질을 “양의 숨김”(positively hiding) 혹은 “무한히 숨김”(infinitely hiding)이라는 새로운 기하학적 개념과 연결한다.

상세 분석

논문은 먼저 (Conv_H(X))를 Hausdorff 거리 (d_H)로 장착한 비공집합들의 공간으로 정의하고, 각 닫힌 볼록 집합 (C)에 대해 유한 거리 성분 (H_C={A\in Conv_H(X):d_H(A,C)<\infty})를 고려한다. 핵심은 다음 다섯 조건의 동치성을 증명하는데 있다. (1) (C)가 근사 다면체(모든 (\varepsilon>0)에 대해 다면체 (P)가 (d_H(P,C)<\varepsilon))이고, (2) 어떤 다면체 (P)와 유한 거리 (d_H(C,P)<\infty)를 만족한다. (3) 성분 ((H_C,d_H))가 가산밀도, 즉 가산히 분리가능(separable)이며, (4) 밀도 (dens(H_C)<\mathfrak c) (연속체보다 작음)이다. (5) (H_C) 안에 양의 숨김(convex) 집합이 존재하지 않는다.

이 동치성을 보이기 위해 저자는 특성 원뿔 (V_C={v\in X:\forall c\in C,;c+\mathbb{R}_+v\subset C})를 핵심 도구로 삼는다. 먼저 (d_H(A,B)<\infty)이면 (V_A=V_B)임을 증명(Lemma 2.4)하고, 이는 (C)와 다면체 (P) 사이의 거리 유한성에서 두 집합의 특성 원뿔이 동일함을 의미한다. 그런 다음 (V_C)가 다면체이면 (C)는 다면체와 유한 거리 안에 있음을 보이며, 이는 (1)↔(2)↔(4)↔(5) 사이의 연결 고리다.

양의 숨김 집합은 (A\subset X\setminus C)가 무한하고, 모든 서로 다른 두 점 사이의 선분이 (C)와 교차하면서도 (\inf_{a\in A}dist(a,C)>0)인 경우를 말한다. 무한히 숨김은 같은 조건에 (\sup_{a\in A}dist(a,C)=\infty)을 추가한다. 저자는 기존 결과(