불규칙 다각형 최대 내접원 중심 찾기 알고리즘

초록

본 논문은 불규칙 다각형 내부에 가장 큰 원(내접원)의 중심을 효율적으로 구하는 알고리즘을 제시한다. 기존의 폴스 오브 인액세서빌리티(Pole of Inaccessibility) 방법을 기반으로, 일반 다각형에 적용 가능한 몬테카를로 탐색 방식과, 볼록 다각형처럼 선형 형태로 표현 가능한 경우에 적용되는 선형 계획법을 각각 설계·비교한다. 실험 결과 두 알고리즘 모두 기존 방법 대비 연산량과 정확도에서 우수함을 확인하였다.

상세 분석

논문은 먼저 “가장 큰 내접원” 문제를 max‑min 형태의 최적화 문제로 정의한다. 즉, 다각형의 모든 변(또는 면)으로부터의 거리 중 최소값을 최대화하는 점을 찾는 것이 목표다. 이때 거리 함수는 유클리드 거리이며, 다각형이 볼록이면 각 변에 대한 거리 제약식이 선형(또는 반볼록) 형태가 된다. 저자는 이를 두 가지 경우로 나누어 접근한다. 첫 번째는 일반적인 불규칙(비볼록) 다각형에 대해 몬테카를로 기반의 전역 탐색을 수행한다. 초기 후보점들을 무작위로 생성하고, 각 후보에 대해 최소 거리값을 계산한 뒤, 현재 최적값을 중심으로 탐색 영역을 점진적으로 축소한다. 탐색 영역은 사각형 혹은 원형으로 정의되며, 샘플 수와 축소 비율을 조절해 정확도와 연산량 사이의 트레이드오프를 제어한다. 두 번째는 다각형이 볼록이거나 선형 제약식으로 변환 가능한 경우에 선형 계획법(LP)을 적용한다. 각 변에 대해 거리 ≥ r (r은 원의 반지름)이라는 부등식으로 변환하고, 목표는 r을 최대화하는 것이므로 이는 표준 형태의 선형 프로그램이 된다. 저자는 단순 심플렉스(SIMPLEX) 혹은 내장된 LP 솔버를 이용해 빠르게 최적해를 구한다. 복잡도 분석에서는 몬테카를로 방식이 O(k·n) (k: 샘플 수, n: 변의 수)이며, LP 방식은 O(n³) 정도로 추정한다. 실험에서는 다양한 실세계 다각형(섬 형태, 행정구역 등)을 대상으로 두 알고리즘을 적용했으며, 특히 볼록 다각형에서는 LP가 수십 배 빠른 반면, 비볼록 다각형에서는 전역 탐색이 높은 정확도를 유지한다는 점을 강조한다. 또한, 기존 Garcia‑Castellanos & Lombardo의 “pole of inaccessibility” 알고리즘과 비교했을 때, 제안된 방법은 샘플링 전략과 수렴 기준을 개선해 동일한 오차 허용 범위에서 연산 시간을 30~70% 절감한다. 마지막으로 저자는 알고리즘의 한계—예를 들어, 매우 얇은 “스키니” 형태의 다각형에서는 샘플링이 충분히 밀집되지 않으면 지역 최적해에 빠질 위험이 있다—를 언급하고, 적응형 샘플링 혹은 히어라키컬 그리드 기법을 향후 연구 과제로 제시한다.