그래프 범주의 구체적 탐구

초록

본 논문은 전통적인 그래프 범주(단일 간선·정점 보존 엄격 사상)와, 간선과 정점 사이의 매핑을 허용하는 확장된 ‘개념적 그래프’ 범주를 정의한다. 두 범주와 그 변형 4가지를 조합해 총 6개의 그래프 범주를 만든 뒤, 각각이 Lawvere의 집합·함수 공리(한정된 극한·공극한, 지수 객체, 부분 객체 분류자 등)를 만족하는지를 조사하고, 자유 객체, 사영 객체, 생성자 및 그 이중 개념을 분석한다.

상세 분석

논문은 먼저 전통적인 그래프 범주 𝔾ₛ(Strict Graphs)를 정의한다. 여기서 객체는 두 정점 사이에 최대 하나의 간선을 허용하며, 사상은 정점→정점, 간선→간선의 두 층을 보존한다. 이때 ‘엄격 사상’은 인시던스(정점‑간선 관계)를 정확히 유지해야 하므로, 동형 사상은 그래프 구조를 완전 복제한다. 저자는 이 제한을 완화해 𝔾𝚌(Conceptual Graphs)를 만든다. 𝔾𝚌에서는 두 정점 사이에 다중 간선을 허용하고, 사상은 간선을 정점으로, 혹은 정점을 간선으로 보낼 수 있다. 단, 인시던스 보존이라는 핵심 조건만 남겨 두어, 이미지가 정점이면 그 정점이 원래 간선의 양 끝점 중 하나와 일치하도록 강제한다.

이 두 기본 범주에 대해 ‘사상 제한’(Strict vs. Loose)과 ‘그래프 제한’(Simple vs. Multi‑edge) 두 축을 교차시켜 네 가지 변형을 만든다. 결과적으로 다음 여섯 범주가 정의된다: (1) Strict‑Simple (전통 𝔾ₛ), (2) Strict‑Multi, (3) Loose‑Simple, (4) Loose‑Multi, (5) Conceptual‑Simple, (6) Conceptual‑Multi. 각각은 사상의 자유도와 객체의 복잡도에서 서로 다른 조합을 제공한다.

다음 단계는 Lawvere가 제시한 ‘집합·함수’ 공리 체계, 즉 (L1) 유한극한 존재, (L2) 유한공극한 존재, (L3) 지수 객체, (L4) 부분 객체 분류자, (L5) 선택 공리 등을 그래프 범주에 적용해 검증하는 것이다. 저자는 각 범주에 대해 다음과 같은 결론을 도출한다.

• 유한극한: 모든 여섯 범주가 이산 그래프(정점 집합만으로 구성)와 공통된 곱, 동등화자 등을 통해 유한극한을 가짐. 특히, Strict‑Simple과 Strict‑Multi는 곱을 정점의 직각곱, 간선은 쌍별 교차로 정의해 쉽게 구성한다.
• 유한공극한: Loose‑Simple과 Conceptual‑Multi는 코프로덕트(합집합)와 푸시아웃을 만들 때, 간선을 정점으로 매핑할 수 있기 때문에 일반적인 푸시아웃이 존재하지 않는다. 반면 Strict‑Simple, Strict‑Multi, Loose‑Multi는 코프로덕트를 정점·간선의 분리 합집합으로 정의해 존재한다.
• 지수 객체: 지수 객체는 ‘함수 그래프’를 의미한다. Strict‑Simple은 지수 객체가 존재하지 않는다(간선 수 제한 때문에 함수 집합을 그래프로 표현할 수 없음). Strict‑Multi와 Loose‑Multi는 다중 간선 허용 덕분에 부분적으로 지수를 구성할 수 있지만 완전한 지수(모든 사상에 대한 내부 Hom) 를 제공하지 않는다. Conceptual‑Multi는 가장 일반적인 사상 허용으로 인해, 내부 Hom을 정의할 수 있어 지수 객체가 존재한다.
• 부분 객체 분류자: 전통 범주에서는 ‘특성 그래프’(특정 정점·간선을 1로 표시) 로 부분 객체를 구분할 수 없으며, Ω 객체가 존재하지 않는다. 다만 Conceptual‑Multi는 정점·간선 모두를 2값으로 라벨링하는 Ω를 구성해 부분 객체 분류자를 제공한다.
• 선택 공리: 모든 범주가 선택 공리를 만족한다는 증명은 존재한다. 이는 각 객체가 정점 집합을 기반으로 하며, 정점에 대한 선택 함수가 항상 정의 가능하기 때문이다.

다음으로 자유 객체와 사영 객체를 조사한다. 자유 그래프는 주어진 집합 X를 정점 집합으로 하여 간선을 전혀 두지 않은 ‘이산 그래프’를 만든다. 이는 모든 범주에서 동일하게 자유 객체가 된다. 사영 객체는 사상에 대한 오른쪽 사상(에피)으로, 특히 Strict‑Simple에서는 ‘완전 연결 그래프(Kₙ)’가 사영 객체가 된다(모든 정점 사이에 간선 하나씩). Conceptual‑Multi에서는 사영 객체가 ‘완전 다중 연결 그래프’(두 정점 사이에 모든 가능한 간선 집합) 로 확장된다.

생성자와 그 이중 개념(코생성자)도 분석한다. 저자는 ‘단일 정점 그래프’와 ‘단일 간선 그래프’를 각각 좌·우 생성자로 제시한다. Strict‑Simple에서는 두 객체 모두 생성자이지만, 코생성자는 존재하지 않는다. 반면 Conceptual‑Multi에서는 ‘단일 정점+다중 간선’ 구조가 코생성자 역할을 하며, 이는 모든 사상이 이 객체를 통해 분해될 수 있음을 의미한다.

마지막으로 저자는 각 범주의 장단점을 정리하고, 특히 Conceptual‑Multi가 Lawvere 공리를 가장 많이 만족함을 강조한다. 그러나 이 범주는 사상의 자유도가 커져 동형 사상의 판별이 복잡해지는 단점이 있다. 논문은 이러한 결과를 바탕으로 그래프 이론과 범주론의 교차점에서 새로운 연구 방향, 예컨대 ‘그래프 내부 논리’와 ‘그래프 기반 타입 이론’ 등을 제시하며 마무리한다.