클라리쓰리 III: CLA8·CLA9·CLA10의 설계와 완전성

초록

본 논문은 계산가능성 논리 기반 산술 체계인 클라리쓰리의 새로운 세 버전 CLA8, CLA9, CLA10을 제시한다. CLA8은 PA가 증명할 수 있는 재귀적 시간 함수 t에 대해 t‑시간 해를 갖는 문제와 정확히 일치하도록 확장적 완전성을 보이며, CLA9는 PA가 구체적인 기계 M을 제시해 증명하는 경우에 한해 강도 높은(내재적) 완전성을 갖는다. CLA10은 PA가 어떤 기계의 존재를 명시하지 않더라도 “X는 계산 가능하다”는 사실만을 증명하면 그 문장을 정리로 받아들이는, 비구성적 완전성을 제공한다. 세 체계 모두 소리(sound)함을 증명한다.

상세 분석

CLA8·CLA9·CLA10은 모두 계산가능성 논리(Computability Logic, CoL)의 연산자를 산술 언어에 내재화한 ‘클라리쓰리(clarithmetic)’ 패밀리의 최신 확장이다. 기존 CLA1–CLA7이 주로 다항식·다항시간·다항공간 등 제한된 복잡도 클래스와 그에 대응하는 증명 규칙을 제공했다면, 이번 작업은 두 차원에서 한 단계 진보한다. 첫째, ‘시간’ 차원에서 PA가 증명할 수 있는 모든 재귀적 함수 t에 대해 t‑시간 해를 보장하는 문제군을 포괄한다. 이는 “PA‑provably recursive time computability”라는 새로운 복잡도 개념을 도입함으로써, 기존의 ‘PA‑provable polynomial time’ 한계를 넘어선다. CLA8의 공리와 규칙은 기본 산술 공리(PA) 위에 ‘시간 제한 연산자 ⊓t·’와 ‘시간 제한 존재 연산자 ⊔t·’를 추가하고, 증명 과정에서 t를 구체적인 PA‑증명 가능한 함수로 치환하도록 설계되었다. 이때 소리성은 ‘모든 정리의 증명은 실제 t‑시간 알고리즘을 구성한다’는 메타정리로 증명되며, 확장적 완전성은 “문제 A가 어떤 PA‑증명 가능한 t에 대해 t‑시간 해결 가능 ⇔ A가 CLA8의 정리”라는 양방향 정리로 확립된다.

둘째, ‘내재적(intensional)’ 완전성 측면에서 CLA9와 CLA10은 각각 ‘구성적(constructively) PA‑provable computability’와 ‘비구성적 PA‑provable computability’를 목표로 한다. CLA9은 증명 체계에 ‘구체적 기계 M을 명시하는 전술(constructive witness)’을 허용한다. 구체적으로, 새로운 규칙 ‘Witness‑Introduction’은 “PA ⊢ “M computes X””라는 전제가 있을 때 X를 정리로 도입한다. 이 규칙은 전통적인 증명론에서 ‘존재 증명’과 ‘구성적 증명’ 사이의 격차를 메우며, CLA9이 내재적 완전성을 갖는 핵심이다. 반면 CLA10은 ‘존재 증명’만을 요구한다. 즉, PA가 “X는 계산 가능하다”는 명제를 증명하면, 해당 명제 자체가 CLA10의 정리가 된다. 여기서는 구체적 기계 M을 제시할 필요가 없으며, 이는 PA가 비구성적으로 존재성을 인정하는 경우에도 체계가 일관성을 유지하도록 설계된 결과이다. CLA10의 소리성 증명은 “PA가 X의 계산 가능성을 증명하면, 실제로 어떤 기계가 X를 해결한다는 메타정리(실존성 보장)”를 이용한다.

이러한 설계는 CoL의 ‘게임 의미론’과 깊이 연결된다. 각 체계는 문제를 ‘게임’으로 해석하고, 증명은 ‘승리 전략’을 구성하는 과정으로 본다. CLA8에서는 승리 전략이 시간 제한 t에 종속되며, CLA9·CLA10에서는 전략 자체가 존재(구성적 혹은 비구성적)한다는 점에 초점을 맞춘다. 또한, PA와의 연계성을 유지하기 위해 모든 새로운 연산자는 PA 내에서 정의 가능하도록 설계되었으며, 이는 메타수학적 관점에서 ‘PA‑provable’이라는 용어가 두 번 등장하는 이유와도 일치한다.

결과적으로, CLA8·CLA9·CLA10은 복잡도 이론과 증명론을 통합하는 새로운 프레임워크를 제공한다. 특히 CLA9·CLA10의 내재적 완전성은 ‘어떤 문제가 계산 가능하다는 사실만을 증명하는 것’과 ‘그 문제를 실제로 해결할 알고리즘을 제시하는 것’ 사이의 차이를 명확히 구분하면서도, 두 경우 모두 형식 체계 안에서 정리화할 수 있음을 보여준다. 이는 향후 ‘계산 가능성의 형식화’를 넘어 ‘복잡도와 증명 가능성의 정량적 연계’를 탐구하는 연구에 중요한 기반을 제공한다.