원시 피타고라스 삼각형으로 만든 무작위 시퀀스

초록

본 논문은 원시 피타고라스 삼각형(PPT)의 여섯 종류를 두 그룹으로 구분하고, 각 클래스별로 가장 큰 변을 기준으로 정렬한 뒤 발생하는 간격(gap) 시퀀스의 자기상관 및 상호상관을 분석한다. 특히, 가장 큰 변이 5의 배수인 클래스 A와 D가 다른 네 클래스와는 통계적 무작위성에서 뚜렷한 차이를 보이며, 다른 두 정렬 방식에서는 모든 여섯 클래스가 우수한 무작위성을 유지함을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 원시 피타고라스 삼각형(PPT)을 a<b<c, a²+b²=c², 그리고 a, b, c가 서로소인 삼각형으로 정의하고, 기존 연구에서 밝혀진 여섯 개의 동형 클래스(A–F)를 소개한다. 각 클래스는 (a, b, c) 중 어느 변이 3, 4, 5와 같은 특정 소인수에 의해 지배되는가에 따라 구분되며, 이는 삼각형을 생성하는 매개변수 (m, n) ∈ ℕ, m>n, gcd(m,n)=1, m−n odd 에서 (a, b, c) = (m²−n², 2mn, m²+n²) 형태로 표현될 때의 잔여(mod 3, mod 4, mod 5) 패턴과 직접 연관된다.

연구진은 각 클래스별로 “가장 큰 변(c)”을 기준으로 PPT들을 오름차순 정렬한 뒤, 인접한 삼각형 사이의 차이 Δc = c_{i+1}−c_i 를 추출한다. 이렇게 얻어진 Δc 시퀀스는 0‑1 이진열이 아니라 양의 정수열이며, 이를 다시 2진 부호화(예: Δc mod 2) 혹은 다중 레벨 부호화(예: Δc를 3‑레벨로 구분)하여 ‘Baudhayana 시퀀스’라 명명한다.

핵심 분석은 이 시퀀스들의 자기상관 함수 R_{xx}(τ)=E