완전 매칭 기반 해밀턴성 검사 혁신

초록

이 논문은 완전 그래프 Kₜ의 모든 완전 매칭을 행·열로 하는 매칭 연결 행렬 Hₜ의 구조를 분석한다. Hₜ의 GF(2) 위 계수를 이용해 랭크가 2^{t/2‑1} 이하임을 보이고, 이를 위한 기저 매칭 집합 Xₜ를 명시적으로 구성한다. 또한 기저 간 변환을 빠르게 수행하는 알고리즘과, Xₜ가 Hₜ 안에서 순열 행렬을 형성한다는 사실을 제시한다. 이러한 이론적 결과를 바탕으로, 방향성 이분 그래프에서 해밀턴 사이클 존재 여부를 1.888ⁿ·poly(n) 시간에 해결하는 몬테카를로 알고리즘을 제안하고, 경로 분해 폭 pw에 대해 (2+√2)^{pw}·poly(n) 시간의 알고리즘을 설계한다. 마지막으로, Strong Exponential Time Hypothesis(SETH) 하에서 (2+√2‑ε)^{pw}·poly(n) 시간 알고리즘은 존재할 수 없음을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 매칭 연결 행렬 Hₜ를 정의한다. Hₜ의 행·열은 Kₜ의 모든 완전 매칭 M에 대응하며, Hₜ