불연속 계수를 가진 비선형 시스템의 해 기울기 Lp 적분성

초록

본 논문은 소규모 BMO 계수를 갖는 레이페니버그 평탄 영역에서 정의된 비선형 타원·쌍곡 시스템의 약해 해에 대해, 하위 차수 항의 제어 성장 조건을 가정하면 기울기 Du가 Lp( p>2 )에 속함을 보인다. 결과는 데이터에 의존하는 명시적 지수 r = min{p, q*} 로 제시되며, 동일한 방법으로 초기‑경계값 문제인 쌍곡 시스템에도 확장된다.

상세 분석

논문은 먼저 레이페니버그 평탄 영역(δ,R)-Reifenberg flat의 정의와 (δ,R)-vanishing BMO 계수 개념을 도입한다. 주 계수 행렬 Aαβij(x) 은 균일 강성 λ>0을 만족하고, 평균 진동이 δ에 의해 제어되는 작은 BMO(즉, ‖A‖<δ) 로 가정한다. 하위 차수 항 aαi(x,u)와 b i(x,u,Du)는 각각 φ1∈L^p(Ω), φ2∈L^q(Ω)와 결합된 제어 성장 조건(7),(8)을 만족한다. 여기서 p>2, q>2n/(n+2)이며, q는 Sobolev 공액 지수이다. 이러한 설정 하에 약해 해 u∈W0^{1,2}(Ω;ℝ^N)∩L^∞(Ω;ℝ^N) 를 고려한다.

핵심 기술은 다음과 같다. (1) 선형화: 비선형 항을 고정하고 시스템을 선형 형태 Dα(Aαβij(x)Dβuj)=fi−div Ai(x) 로 변환한다. (2) 역 Hölder 불평등과 Gehring 보조정리를 이용해 Du가 L^{r0} (r0>2) 에 속함을 얻는다. (3) Byun‑Wang의 BMO 계수를 가진 선형 시스템에 대한 L^p 정리(