3차 버거스 방정식의 두 성분 바이 해밀토니안 일반화

초록

본 논문은 스칼라 3차 버거스 방정식으로 환원되는 새로운 두 성분 바이 해밀토니안 적분계(system)를 제시한다. 두 개의 상호 연결된 진화 방정식으로 구성되며, 각각 두 개의 서로 호환되는 해밀토니안 구조와 무한히 많은 보존량을 갖는다. 저자들은 라그랑지안, 라그랑지안 연산자, 리커시온 연산자 및 Lax 쌍을 구축하여 시스템의 완전 적분성을 증명하고, 마스터 대칭과 비선형 변환을 통해 기존의 버거스 방정식과의 관계를 명확히 한다.

상세 분석

논문은 먼저 스칼라 3차 버거스 방정식 u_t = u_{xxx} + 3 u u_{xx} + 3 u_x^2 + 3 u^2 u_x 를 소개하고, 이를 두 변수 (u, v) 로 확장한 시스템을 제안한다. 제시된 시스템은
u_t = u_{xxx} + 3 u u_{xx} + 3 u_x^2 + 3 u^2 u_x + α v_{xx} + β v u_x + γ u v_x,
v_t = v_{xxx} + 3 v v_{xx} + 3 v_x^2 + 3 v^2 v_x + α u_{xx} + β u v_x + γ v u_x,
와 같이 상호작용 항을 포함한다. 여기서 α, β, γ는 상수이며, 특정 선택(예: α=1, β=γ=0)에서 v=0 로 제한하면 원래 3차 버거스 방정식이 회복된다.

핵심은 이 시스템이 두 개의 서로 호환되는 해밀토니안 연산자 J₁, J₂ 를 가진다는 점이다. J₁은 1차 미분 연산자와 비선형 항을 포함한 스키미온 형태이며, J₂는 3차 미분 연산자를 기반으로 하면서 비선형 교정항을 포함한다. 두 연산자는 J₂ δH₁ = J₁ δH₂ 형태의 바이 해밀토니안 관계를 만족한다. 여기서 H₁, H₂는 각각 첫 번째와 두 번째 해밀토니안 함수로, H₁ = ∫(u²+v²)dx, H₂ = ∫(u u_{xx}+v v_{xx}+u³+v³)dx 등으로 정의된다.

이러한 구조는 리커시온 연산자 R = J₂ J₁^{-1} 를 정의하게 하며, R을 반복 적용함으로써 무한히 많은 고차 대칭과 보존량을 생성한다. 저자들은 R을 이용해 마스터 대칭을 구하고, 이를 통해 계통적인 보존량 계열 {I_n} 을 도출한다. 또한, 라그랑지안 관점에서 변분 원리를 제시하고, 라그랑지안 L = ∫(½ u_x² + ½ v_x² + u³ + v³)dx 로부터 오일러-라그랑주 방정식을 유도한다.

Lax 쌍에 관해서는 두 차원 행렬 연산자 L = ∂_x³ + A ∂_x + B 와 M = ∂_x² + C 로 구성한다. 여기서 A, B, C는 u, v 및 그 도함수의 함수이며, L_t =