Rⁿ의 하우스도르프 초공간과 그 조밀 부분공간

초록

본 논문은 거리공간 X의 닫힌 유계 부분집합들의 초공간 CLB_H(X)에 하우스도르프 거리 위에 부여된 위상에 대해 연구한다. 특히 R^m에 대해, 이제까지 알려지지 않았던 네 개의 자연스러운 조밀 부분집합(전혀 밀도가 없는 닫힌 집합, 완전집합, 칸토어 집합, 르베그 측도 0 집합)이 모두 힐베르트 공간 ℓ₂와 위상동형임을 증명한다. 더불어 실수선 R의 모든 비공집합 닫힌 부분집합들의 초공간 CL_H(R)에서, R,

상세 분석

논문은 먼저 거리공간 X에 대해 CLB_H(X) = {A⊆X | A는 닫히고 유계} 를 정의하고, 이 집합에 Hausdorff 거리 d_H(A,B)=max{sup_{a∈A}inf_{b∈B}d(a,b), sup_{b∈B}inf_{a∈A}d(a,b)} 를 부여한다. 이 거리에 의해 얻어지는 위상은 완비이며, X가 완비이면 CLB_H(X) 역시 완비가 된다. 저자들은 특히 X=ℝ^m (m≥1)인 경우에 관심을 둔다. ℝ^m은 σ-compact하고, 그 위에 정의된 Hausdorff 거리의 특성 덕분에 CLB_H(ℝ^m)은 가산 차원의 매끄러운 구조를 가질 가능성이 있다.

핵심은 “조밀 부분공간”을 어떻게 선택하느냐이다. 저자는 네 가지 자연스러운 클래스를 고려한다. 첫째, 이제까지 내부가 비어 있는 닫힌 집합들의 집합 N₁ = {A∈CLB_H(ℝ^m) | int(A)=∅}. 둘째, 완전집합(모든 점이 축적점인 집합)들의 집합 N₂. 셋째, 칸토어 집합(완전·무계산·0차원)들의 집합 N₃. 넷째, 르베그 측도 0인 닫힌 집합들의 집합 N₄. 각 N_i는 CLB_H(ℝ^m) 안에서 조밀하며, 각각이 ℓ₂와 위상동형임을 보이기 위해 저자는 다음과 같은 전략을 사용한다.

(1) 완비성 및 가산 연속성 확보: 각 N_i는 완비 메트릭 공간이며, 가산 기반을 갖는다. 이는 Baire 범주 정리와 완비성에 대한 일반적인 결과를 이용한다.
(2) 무한 차원 매니폴드 구조 구축: 저자는 각 N_i에 대해 “σ-compact, locally contractible, absolute retract (AR)”임을 증명한다. 특히, N_i가 절대 재배열 가능(AR)임을 보이기 위해, 임의의 유한 차원 복합체 K와 연속 사상 f:K→N_i에 대해 연장 사상 F:K×