연속함수와 역함수로 무한 정사각형을 셀 수 있게 덮기

초록

이 논문은 실수선 위의 무한집합 X에 대해, X×X 전체를 그래프와 역그래프만으로 이루어진 가산개의 연속실함수들의 합집합으로 덮을 수 있음을 증명한다. 이는 Sierpiński가 1919년에 제시한 “S×S는 |S|≤ℵ₁일 때만 가산개의 함수와 그 역함수의 그래프로 덮일 수 있다”는 정리를 확장한 결과이며, Shelah이 연구한 완전 직사각형이 없는 평면 Borel 집합과도 연관된다.

상세 분석

논문은 먼저 Sierpiński의 고전 정리를 재검토한다. Sierpiński는 집합 S⊆ℝ의 크기가 ℵ₁ 이하일 경우에만 S×S를 가산개의 함수와 그 역함수의 그래프로 완전히 덮을 수 있음을 보였으며, ℵ₁ 초과이면 불가능함을 증명했다. 이때 사용된 핵심 아이디어는 각 함수의 그래프가 1‑차원 구조를 가지므로, ℵ₁보다 큰 카디널리티를 가진 정사각형을 가산개의 1‑차원 집합으로 분할하는 것이 불가능하다는 점이다.

본 연구는 이 경계를 무시하고, X가 ℵ₁을 초과하는 무한집합일 때도 X×X를 가산개의 연속함수와 그 역함수의 그래프로 덮을 수 있음을 보여준다. 핵심 기술은 “연속함수의 그래프와 역그래프는 각각 수직·수평 선분을 포함할 수 있다”는 사실을 이용해, 각 함수가 X의 서로 다른 부분을 담당하도록 설계하는 것이다. 구체적으로, 저자는 실수선 위에 잘 정의된 순서형 ω₁‑시퀀스를 선택하고, 전이 함수(transfinite recursion)를 통해 각 단계에서 새로운 연속함수를 정의한다. 이 함수는 이전 단계에서 다루지 못한 X의 점들을 새로운 그래프에 매핑하면서, 동시에 그 역함수 역시 연속성을 유지하도록 구성된다.

또한, Shelah이 제시한 “완전 직사각형이 없는 Borel 집합” 문제와 연결하여, 본 결과는 평면 Borel 집합이 가산개의 연속곡선(및 그 역곡선)으로 완전히 분해될 수 있음을 시사한다. 이는 기존에 알려진 Borel 집합의 복잡도 계층과 카디널리티 사이의 관계를 새롭게 조명한다.

증명 과정에서 중요한 두 가지 보조정리는 (1) 연속함수의 그래프가 X×X 안에서 “밀집”하게 배치될 수 있다는 점, (2) 역함수 역시 연속성을 유지하도록 설계할 수 있다는 점이다. 특히, 역함수의 연속성을 보장하기 위해 저자는 각 함수가 단조 증가 혹은 감소하도록 제한하고, 필요에 따라 작은 변형을 가해 연속성을 파괴하지 않으면서도 미처 다루지 못한 점들을 포괄한다. 최종적으로, 가산개의 함수 {fₙ}ₙ∈ℕ와 그 역함수 {fₙ⁻¹}ₙ∈ℕ을 구성함으로써, ∪ₙ(Graph(fₙ)∪Graph(fₙ⁻¹)) = X×X 를 얻는다.

이 결과는 “ℵ₁ 이하”라는 카디널리티 제한이 연속함수의 경우에는 완화될 수 있음을 보여주며, 연속성이라는 추가 제약 하에서도 충분히 풍부한 커버링이 가능함을 증명한다.