일점 대수곡선 코드 리스트 디코딩과 그뢰브너 기반 일반화

본 논문은 현대 오류 정정 코딩 이론에서 중요한 위치를 차지하는 일점 대수곡선(Algebraic Geometry, AG) 코드를 대상으로, 두 가지 기존 알고리즘을 보다 일반적이고 효율적인 형태로 확장·개선한다. 첫 번째 목표는 Lee와 O’Sullivan가 Hermitian 코드에 대해 제안한 그뢰브너 기반 리스트 디코딩 알고리즘을 일반 일점 AG 코드에 적용하는 것이다. 이를 위해 저자들은 기존 연구에서 사용된 Beelen·Brander의 강한 가정—즉, 특정 점 $P_{\infty}$ 에서의 정규화된 순서 체계가 반드시 존재한다는 전제—보다 약한 가정을 도입한다. 구체적으로, $P_{\infty}$ 에서의 순서 체계가 존재한다는 것만을 요구함으로써, 곡선의 차수, 특성, 혹은 정의된 함수 공간 $L(G)$ 의 구조와 무관하게 알고리즘을 적용할 수 있게 된다. 그뢰브너 기반 리스트 디코딩은 오류 위치와 오류 값을 동시에 추정하는 다항식 시스템을 구성하고, 이를 그뢰브너 기저를 이용해 정규 형태로 변환하는 과정으로 이루어진다. 논문에서는 이 과정에서 사용되는 모노미얼 순서를 $P_{\infty}$ 에서 정의된 가중치 순서와 일치하도록 설계하였다. 이렇게 하면 Hermitian 코드 전용으로 설계된 특수한 순서 체계가 필요 없으며, 일반 일점 AG 코드에서도 동일한 정리 절차가 적용 가능하다. 오류 다항식 집합을 $F_q