일반화된 리만형 수리유체계의 완전 적분성

초록

본 논문은 일반화된 리만형 수리유체계에 대해 다항식 포아송 구조와 시그마-대칭 구조를 동시에 만족하는 두 개의 호환 가능한 포아송 연산자를 구축하고, 이를 이용해 라그랑지안·해밀토니안 형식의 리프시츠(Lax) 표현과 무한히 많은 보존법칙을 도출한다. 또한 차분대수적 방법을 적용해 시스템이 완전 적분임을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 1차원 비선형 유체 방정식인 일반화된 리만형 시스템
(u_{t}=v,; v_{t}=w,; w_{t}=F(u,v,w))
을 고려한다. 여기서 (F)는 다항식 형태로 가정되어, 시스템이 전형적인 비선형 파동 전파와 유사한 구조를 가진다. 저자는 이 시스템에 대해 두 개의 서로 호환되는 포아송 연산자 (\vartheta)와 (\eta)를 명시적으로 구성한다. (\vartheta)는 1차 미분 연산자를 포함한 비대칭 행렬이며, (\eta)는 2차 미분과 다항식 가중치를 포함하는 대칭 행렬이다. 두 연산자는 (