희소 무작위 그래프의 무지개 연결성 연구

초록

본 논문은 연결 임계점 근처의 이항 무작위 그래프 (G(n,p))와 고정 차수 (r) 정규 무작위 그래프에 대해 무지개 연결성 (rc(G))의 정확한 위상과 상한을 분석한다. (G(n,p))에서는 (rc(G))가 1차 정점 수 (Z_1)와 그래프 지름 중 큰 값에 거의 일치함을 보이고, (r)-정규 그래프에서는 (rc(G)=O(\log^{2}n))임을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 연결 임계점 (p=\frac{\log n+\omega(n)}{n}) (여기서 (\omega(n)\to\infty) 이면서 (\omega(n)=o(\log n))) 근처에서 발생하는 구조적 특징을 정밀히 파악한다. 이 구간에서는 그래프가 거의 확실히 연결되지만, 아직도 차수가 1인 정점 (Z_1)이 존재할 확률이 비례적으로 남아 있다. 저자들은 (Z_1) 의 분포가 포아송 근사에 의해 평균 (e^{-\omega}) 정도임을 이용해, (Z_1) 가 무지개 연결성에 미치는 하한을 직접 도출한다.

다음으로, 그래프의 지름 (\operatorname{diam}(G)) 에 대한 기존 결과를 활용한다. 임계점 근처에서는 (\operatorname{diam}(G)) 가 (\frac{\log n}{\log (np)}) 에 비례하는 값으로 수렴한다는 것이 알려져 있다. 저자들은 이 지름이 무지개 경로를 구성하는 데 필요한 최소 색상 수와 직접적인 연관이 있음을 보이며, 특히 (\operatorname{diam}(G)) 가 (Z_1) 보다 큰 경우에는 지름이 무지개 연결성의 주된 결정 요인이 됨을 증명한다.

핵심 정리는 다음과 같다.
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