도시 성장과 형성의 공간 모델

초록

이 논문은 도시 인구가 “영향권” 면적에 비례해 성장하고, 새로운 도시는 거리와 기존 도시 규모에 따라 확률적으로 등장하는 공간적 확장 모델을 제시한다. β > 2α 일 때는 여러 대도시가 비슷한 규모로 성장하는 ‘균형 성장’이, β < 2α 일 때는 소수의 대도시가 인구를 독점하는 ‘불균형 성장’이 나타난다.

상세 분석

본 연구는 도시 성장 메커니즘을 수학적으로 형식화한 새로운 확률 모델을 제안한다. 각 도시는 인구 N_i와 위치 x_i를 가지며, 그 도시에 대한 “영향력”(influence)은 I_i = N_i^α · d(x, x_i)^{−β} 로 정의된다. 여기서 α > 0은 인구가 영향력에 미치는 비율을, β > 0은 거리 감쇠 정도를 조절한다. 새로운 인구는 매 시점 단위량이 전체 영향력의 합 Σ_j I_j 에 비례해 각 도시로 할당되며, 이는 인구 성장률이 해당 도시의 영향권 면적에 비례한다는 직관과 일치한다. 동시에 새로운 도시가 탄생할 확률은 현재 전체 인구에 비례하는 일정 비율 λ 로 설정되어 있어, 기존 도시가 성장하면서도 새로운 도시가 지속적으로 등장한다는 동시다발적 과정이 구현된다.

모델의 장기 거동을 비공식적으로 분석하기 위해서는 두 주요 지표, 즉 도시 수 M(t)와 최대 인구 N_max(t)의 시간 의존성을 살펴본다. β > 2α 경우, 거리 감쇠가 인구 효과보다 강하게 작용하므로, 새로운 도시는 기존 도시와 충분히 멀리 떨어진 위치에 생겨 영향권이 겹치지 않는다. 결과적으로 각 도시가 차지하는 영향권 면적이 비슷해져, 인구가 비교적 균등하게 분배된다. 수학적으로는 M(t) ∼ t^{γ} (γ > 0) 형태의 다항 성장과 N_max(t) ∼ t^{δ} (δ ≈ γ) 가 동시에 성립한다는 것을 의미한다.

반대로 β < 2α이면 거리 감쇠가 약해 인구 규모가 영향력에 미치는 효과가 지배적이다. 초기 몇 개의 도시가 우연히 큰 인구를 확보하면 그들의 영향권이 넓어져 주변 지역의 신규 도시 설립을 억제한다. 이때 M(t)의 성장 속도는 포화에 가까워지고, N_max(t)만이 거의 선형에 가깝게 증가한다. 즉, 전체 인구의 대부분이 소수의 초대형 도시로 집중되는 ‘불균형 성장’이 나타난다.

이 모델은 전통적인 ‘중국식 식당 과정(Chinese restaurant process)’을 공간적으로 확장한 형태라 할 수 있다. 기존 CRP는 순서형 데이터에서 테이블(클러스터) 수와 크기의 확률적 분포를 설명하는데, 여기서는 테이블 대신 도시, 고객 대신 인구, 그리고 거리라는 추가 차원을 도입해 실제 지리적 제약을 반영한다. 따라서 도시 규모 분포가 파레토 법칙을 따르는 현상, 대도시 간 거리와 규모의 상관관계, 그리고 도시 네트워크의 성장 패턴을 이론적으로 설명할 수 있는 기반을 제공한다.

모델의 한계로는 α와 β가 고정된 상수라는 가정, 인구 이동(이주) 메커니즘의 부재, 그리고 경제·정책·자연환경 등 외생적 요인을 무시한다는 점을 들 수 있다. 향후 연구에서는 α·β를 시간 혹은 지역에 따라 변동시키는 확장형 모델, 인구 흐름을 포함한 마이그레이션 다이내믹스, 그리고 실제 도시 데이터와의 정량적 검증을 통해 모델의 현실 적용 가능성을 높일 수 있을 것이다.