비가환 변분 포아송 기하학의 새로운 전개

이 논문은 비가환 연관대수 \(A\) 와 매끄러운 유한 차원 다양체 \(M^{n}\) 사이의 매핑을 대상으로, 그 매핑의 무한 제트 공간 \(J^{\infty}(M^{n}\!\to\!A)\) 위에서 변분 다중벡터와 포아송 구조를 구축한다. 먼저 저자는 비가환 알파벳의 단어에 대해 순환적 동치와 교환 동치를 적용해 등가류를 정의하고, 좌·우 곱 연산자 \((\cdot a)\), \((a\cdot)\) 를 도입한다. 전체 전미분 연산자는 \(\tilde d/dx^{i}=\tilde\partial/\partial x^{i}+ \sum_{|\sigma|>0} a_{\sigma+1_{i}}\tilde\partial/\partial a_{\sigma}\) 로 표현되며, 이는 제트 변수와 알파벳 원소 사이의 미분 구조를 명확히 한다. 다음 단계에서는 변분 코탄젠트 슈퍼번들을 정의한다. 기존 ‘even’ 변수 \(a_{\sigma}\) 위에 ‘odd’ 변수 \(b_{\tau}\) 를 추가해 새로운 제트 변수 체계를 만든다. 차수 전이 연산 \(\Pi\) 를 통해 \(\Pi b\) 를 ‘odd’ 변수로 전이시키고, 전체 슈퍼번들을 \(J^{\infty}(\Pi b\,\pi_{n}^{C})\) 로 구성한다. 여기서 \(\pi_{n}^{C}\) 은 원래 매핑의 제트 번들을 나타낸다. 핵심적인 비가환 슈바르츠 브라켓 \(\llbracket\,,\,\rrbracket\) 은 두 변분 다중벡터 \(\xi,\eta\) 의 변분 미분 \(\delta\xi,\delta\eta\) 를 원형(사이클) 위에 배치하고, ‘Dirac ordering’ \(\delta a\wedge\delta b\) 로 결합해 정의된다. 구체적으로는 \