유한 랜덤 도미노 자동자와 지진 모형의 새로운 통계역학

초록

본 논문은 무한 크기의 랜덤 도미노 자동자(RDA)를 유한 격자(N)로 확장한 유한 랜덤 도미노 자동자(FRDA)를 정의하고, 정지 상태를 기술하는 정확한 식을 도출한다. N≥5에서는 클러스터 간 상관관계를 완전히 표현하는 식이 존재하지 않음을 증명하고, 평균장(field) 근사 α와 γ를 제시한다. 세 가지 특수 경우(µ 상수, µ∝1/i, µ∝1/i²)를 분석하며, 마코프 체인 전이 행렬을 이용해 평균 대기시간과 준주기적 현상을 설명한다. 큰 N에서는 FRDA 식이 기존 RDA와 일치함을 확인한다.

상세 분석

FRDA는 1차원 원형 격자 N에 각 셀을 빈칸 또는 공(볼) 하나로 두고, 매 시간 단계마다 무작위 셀에 공을 투입한다. 빈 셀에 공이 들어갈 확률을 ν, 이미 차 있는 셀에 공이 들어오면 해당 클러스터와 인접한 셀을 모두 소멸시키는 ‘폭발(avalanch)’이 일어날 확률을 µ_i(클러스터 크기 i에 의존)라 정의한다. 정지 상태에서 평균 밀도 ρ와 클러스터 수 n_i, 빈 클러스터 수 n_i^0는 다음 평형식으로 연결된다.

1. 밀도 평형: ν(1−ρ)=∑_{i=1}^N µ_i n_i i /N. (식 4)
2. 전체 클러스터 수 평형: (1−ρ)N−∑ µ_i n_i i =2n_R−n_{N−1}. (식 9)

클러스터 크기 i에 대한 손실은 (a) 가장자리 확장(2ν n_i/N)와 (b) 폭발(µ_i i n_i/N)이며, 생성은 (a) 빈 클러스터 내부에서 새로운 1‑클러스터가 생기는 경우와 (b) 두 클러스터가 빈 1‑셀을 메워 합쳐지는 경우로 구분된다. 이때 빈 1‑셀의 존재 확률 α_E(i)와 두 클러스터가 합쳐질 확률 γ_E(i)는 전체 배치에 대한 상관관계를 포함한다.

저자들은 N≥5에서는 α_E(i), γ_E(i)를 n_i, n_i^0만으로 정확히 표현할 수 없음을 증명(부록)하고, 평균장 근사
α_A(i)=1−n_1^0 /∑{k=1}^{N−i} n_k^0,
γ_A(i)=∑{k=1}^{i−2} (n_k n_{i−1−k}) /