셀룰러 오토마타 위상의 두 가지 접근과 그 역설적 특성

초록

본 논문은 고정 알파벳 위의 모든 셀룰러 오토마타(CA)를 대상으로 두 가지 자연스러운 위상을 정의한다. 첫 번째 위상은 가산 집합임에도 불구하고 1-첫째 가산성이나 순차성을 갖지 않는 병리적 구조를 보이며, 가역 CA는 폐집합, 전사 CA는 조밀 집합이 된다. 두 번째 위상은 메트릭에 의해 유도되며, 제한된 상황에서 합성 연산의 연속성, 역연산의 연속성, 전사 CA 집합의 폐쇄성을 증명하고, 반례를 제시한다. 또한 모든 시프트 불변 측도가 정의하는 의사메트릭을 이용해 위상을 일반화하고, 이를 베시코프 거리와 연결시켜 첫 번째 위상과의 관계를 밝힌다.

상세 분석

논문은 먼저 셀룰러 오토마타 집합 𝔠𝔞를 ‘점대점’ 위상으로 구성한다. 여기서 기본 열린 집합은 특정 유한 블록에 대해 동일한 로컬 규칙을 갖는 CA들의 집합으로 정의된다. 이 위상은 가산이지만, 각 점이 가질 수 있는 기본 이웃의 수가 무한히 커지므로 1-첫째 가산성을 만족하지 못한다. 즉, 어떤 CA 주변의 모든 열린 집합을 열거하려면 무한히 많은 기본 열린 집합이 필요해, 점마다 기저가 존재하지 않는다. 또한 순차적이지 않음은, 어떤 집합이 모든 수열의 극한을 포함하지 않음에도 불구하고 폐집합이 되지 않는 현상으로 증명된다. 이러한 병리성에도 불구하고, 가역 CA는 로컬 규칙이 역함수를 갖는 경우에 한정되므로 위상적으로 폐집합을 이룬다. 반면 전사 CA는 임의의 구성에 대해 전사성을 만족하는 규칙이 근접한 CA들에 의해 근사될 수 있기에, 전사 CA들의 집합은 위상 내에서 조밀하게 퍼진다.

두 번째 위상은 ‘베시코프 거리’를 기반으로 한 메트릭 d(F,G)=lim sup_{n→∞} (1/|B_n|)·|{x∈B_n : F(x)≠G(x)}| 로 정의된다. 여기서 B_n은 원점 중심의 반경 n 구역이며, 측정은 시프트 불변 확률 측도 μ에 의해 가중된다. 이 메트릭은 두 CA가 큰 영역에서 거의 동일하게 동작하면 거리가 작아짐을 보장한다. 논문은 합성 연산 ∘가 한쪽 인자가 ‘정규’(예: 전사 또는 가역)일 때 연속임을 보이며, 특히 가역 CA의 역함수 F^{-1}가 연속함을 증명한다. 전사 CA 집합이 폐집합임을 보이기 위해서는 μ-거의 전사성을 이용해 극한 과정에서 전사성이 보존된다는 사실을 활용한다. 반면, 일반적인 CA에 대해 합성 연산이 연속이 아니며, 이를 보여주는 구체적인 반례(예: 두 비전사 CA의 합성이 전사 CA가 되는 경우)를 제시한다.

마지막으로, 모든 시프트 불변 측도 μ가 정의하는 의사메트릭 d_μ를 도입함으로써 위상을 일반화한다. 이때 d_μ는 μ-평균 차이를 측정하므로, μ가 균등 측도이면 d_μ는 기존 베시코프 거리와 동등해진다. 저자는 d_μ-위상이 첫 번째 병리적 위상과 동형임을 보이는데, 이는 μ가 ‘극단적’(예: Dirac 측도)일 때 기본 열린 집합이 무한히 많은 로컬 규칙을 포함하게 되기 때문이다. 따라서 두 위상은 서로 다른 관점(점대점 vs. 평균)에서 동일한 위상적 현상을 드러낸다. 이와 같은 연결 고리는 셀룰러 오토마타의 위상 구조가 선택한 측도에 따라 크게 달라질 수 있음을 시사한다.