다각형 제어 Lyapunov 함수 기반 선형 MPC: 최대 안정 영역 확보와 강인성

초록

본 논문은 다각형 제어 Lyapunov 함수(PCLF)를 이용해 선형 모델 예측 제어(MPC)의 종단 영역을 시스템의 전체 제어가능 집합으로 설정한다. 이를 통해 유한 예측 지평선 길이에 관계없이 최대 안정 영역을 보장하고, PCLF를 비용 혹은 수축 제약으로 활용해 원점의 폐루프 안정성을 증명한다. 또한 제안된 모든 스키마는 2차 계획(QP) 형태로 구현 가능하며, 작은 외란에 대한 내재적 강인성도 확보한다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 MPC 설계에서 흔히 사용되는 이차형 제어 Lyapunov 함수(QLF) 대신, 다각형 형태의 제어 Lyapunov 함수(PCLF)를 도입함으로써 두 가지 근본적인 한계를 극복한다. 첫째, QLF 기반 설계는 종단 영역을 보통 작은 타원형 집합으로 제한하기 때문에, 실제 시스템이 가질 수 있는 전체 제어가능 집합(Controllable Set, CS)보다 훨씬 작은 영역만을 안정성 보장 범위로 만든다. 반면 PCLF는 선형 시스템의 CS를 정확히 다각형 레벨셋(level set)으로 표현할 수 있어, “최대 DoA”를 그대로 종단 영역으로 채택할 수 있다. 이는 예측 지평선 길이 N에 무관하게 동일한 안정 영역을 유지한다는 의미이며, 특히 짧은 지평선에서도 성능 저하 없이 안정성을 확보한다는 장점을 제공한다.

두 번째 핵심 기여는 PCLF를 이용한 두 가지 폐루프 안정성 보장 메커니즘이다. 첫 번째는 “inflated” PCLF를 종단 비용으로 사용하는 방법으로, 원래 PCLF 레벨셋을 약간 확장(inflate)하여 비용 함수에 포함시킴으로써 최적화 과정에서 상태가 해당 레벨셋 안으로 수렴하도록 유도한다. 이때 비용 가중치와 확장 비율을 적절히 선택하면, 최적 제어 입력이 CS 전체를 탐색하면서도 수렴성을 유지한다. 두 번째는 현재 상태에서 PCLF 값을 직접 평가하고, 다음 단계에서 그 값이 일정 비율 이하로 감소하도록 하는 수축 제약(contractive constraint)을 추가하는 방식이다. 이 제약은 상태가 매 샘플링 순간마다 PCLF 레벨셋 안으로 “수축”함을 강제함으로써, Lyapunov 감소 조건을 명시적으로 만족시킨다.

논문은 위 두 메커니즘을 각각 변형한 두 가지 변형형(inflated‑cost‑variant)도 제시한다. 첫 번째 변형은 종단 비용에 PCLF와 기존 2차 비용을 가중합 형태로 결합해, 비용 구조를 보다 유연하게 만든다. 두 번째 변형은 종단 비용에 PCLF 레벨셋 자체를 직접 삽입함으로써, 비용 함수가 상태의 다각형 경계와 직접 연관되게 만든다. 이러한 변형은 모두 2차 계획(QP) 형태로 변환 가능하므로, 기존 상용 QP 솔버를 그대로 활용할 수 있다.

안정성 증명에서는 Lyapunov 함수 감소와 함께, “입력-상태 제약”을 만족하는 모든 피드백 정책이 존재함을 보이며, 특히 외란 w(k) 가 충분히 작을 경우(‖w‖∞ ≤ ε) 시스템이 입력-상태 제약을 위반하지 않고 원점으로 수렴함을 보인다. 이는 “내재적 강인성(inherent robustness)”이라 부르며, 실제 구현 시 센서 노이즈나 모델 불확실성에 대한 내성을 의미한다.

수치 실험에서는 2차 및 3차 시스템에 대해 전통적인 QLF‑MPC와 제안된 PCLF‑MPC를 비교한다. 결과는 짧은 예측 지평선(N=5)에서도 PCLF‑MPC가 전체 CS를 안정 영역으로 유지하면서, 제어 입력의 크기와 비용 측면에서도 동등하거나 우수한 성능을 보임을 확인한다. 또한 외란 주입 실험에서 PCLF‑MPC는 시스템이 제약을 위반하지 않고 복구하는 모습을 보여, 강인성 효과를 실증한다.

요약하면, 이 논문은 PCLF를 활용해 선형 MPC의 종단 영역을 이론적으로 최적(전체 제어가능 집합)으로 확장하고, 두 가지 실용적인 안정성 보장 기법을 제시함으로써, 짧은 지평선에서도 높은 성능과 강인성을 동시에 달성할 수 있음을 입증한다.