안전하고 강인한 학습 기반 모델 예측 제어

초록

본 논문은 모델 예측 제어(MPC) 프레임워크에 학습 기반 모델을 결합한 LBMPC(Learning‑Based MPC) 방식을 제안한다. 두 개의 모델—불확실성 경계가 알려진 명목 선형 모델과 통계적 방법으로 지속적으로 업데이트되는 학습 모델—을 동시에 유지함으로써, 성능 향상을 위한 최적 입력을 학습 모델에 기반해 선택하면서도, 명목 모델에 대한 강인성 검증을 통해 안전성과 로버스트성을 보장한다. 충분한 시스템 흥분 조건 하에서는 학습 제어가 실제 동역학을 아는 MPC와 확률적으로 수렴함을 증명한다.

상세 분석

LBMPC의 핵심 아이디어는 “안전(safety)과 성능(performance)을 분리(decouple)한다”는 점이다. 이를 위해 저자는 두 개의 동역학 모델을 정의한다. 첫 번째는 선형 형태 (x_{k+1}=Ax_k+Bu_k+d_k) 이며, 여기서 (d_k) 는 다항형 (W) 에 포함되는 바운드 교란으로 모델링 오차를 포괄한다. 두 번째는 통계적 학습을 통해 얻어지는 오라클 (O_k(\tilde x_k,\tilde u_k)) 를 포함한 비선형(또는 파라메트릭) 모델 (\tilde x_{k+1}=A\tilde x_k+B\tilde u_k+O_k) 이다. 오라클은 블랙박스 형태이며, 특정 시점에서의 값과 기울기만 필요하므로, 비선형 회귀, 가우시안 프로세스, 딥러닝 등 다양한 추정 기법을 적용할 수 있다.

안전성 보장은 기존 강인 MPC, 특히 튜브 MPC(tube MPC)의 이론을 그대로 차용한다. 명목 모델에 대한 최적 경로를 계산하고, 실제 시스템이 그 경로를 중심으로 (R_i = \bigoplus_{j=0}^{i-1}(A+BK)^jW) 라는 튜브 안에 머물도록 피드백 (K) 를 설계한다. 제약식 (X\ominus R_i) 와 (U\ominus KR_i) 는 튜브가 확장될 경우에도 상태·입력 제약을 만족하도록 보장한다. 또한, 터미널 집합 (\Omega) (최대 출력 허용 교란 불변 집합)를 이용해 무한히 지속 가능한 안정성을 증명한다.

성능 측면에서는 학습 모델을 사용해 비용 (\psi_k) (예: quadratic stage cost + terminal cost)를 최소화한다. 여기서 비용은 학습 모델의 상태 (\tilde x) 와 입력 (\tilde u) 에만 의존하므로, 명목 모델의 불확실성에 의해 제한되지 않는다. 즉, 학습이 진행될수록 더 정확한 동역학을 반영한 입력이 선택되어 제어 성능이 향상된다.

수렴 분석은 충분한 흥분(persistent excitation) 가정 하에 이루어진다. 학습 데이터가 충분히 풍부하면 오라클 (O_k) 가 실제 비선형 항 (g(x,u)) 에 대해 확률적 일관성을 갖게 되고, 따라서 LBMPC의 최적 입력은 실제 시스템을 기반으로 한 전통적 MPC와 동일한 분포로 수렴한다. 이는 “probabilistic convergence”라는 형태로 정리되며, 강인성 보장은 여전히 명목 모델에 기반하므로 학습 오류가 일시적으로 크게 발생하더라도 안전성은 유지된다.

마지막으로, 저자는 세 가지 실험 플랫폼(로봇 팔, 차량 제어, 제트 엔진 압축기 시뮬레이션)과 시뮬레이션 사례를 통해 LBMPC가 제약을 만족하면서도 기존 MPC 대비 에너지 소비·트래킹 오차를 크게 감소시킴을 실증한다.

요약하면, LBMPC는 (1) 두 모델을 병렬 운영해 안전과 성능을 명확히 구분, (2) 튜브 MPC 이론으로 결정적 로버스트성 확보, (3) 통계적 학습으로 모델 정확도 지속적 향상, (4) 충분한 흥분 조건 하에 확률적 수렴을 보장한다는 네 가지 핵심 기여를 제공한다.