부분 추적 범주와 완전 추적 범주의 연결 고리

초록

이 논문은 Haghverdi‑Scott이 제안한 부분 추적 범주의 개념을 연구하고, 모든 부분 추적 범주가 완전 추적 범주에 충실히 삽입될 수 있음을 보이는 표현 정리를 증명한다. 또한 완전 추적 범주의 대칭 모노이달 부분범주는 언제나 부분 추적 구조를 갖는다는 역방향 결과를 통해 두 클래스가 정확히 일치함을 보인다. 핵심 기법은 Freyd의 파라카테고리와 Joyal‑Street‑Verity의 Int‑구성의 부분적 변형을 이용한다.

상세 분석

논문은 먼저 전통적인 대칭 모노이달 범주와 그 위에 정의되는 전역적인 trace 연산을 복습하고, 이를 부분적으로 제한한 “부분 추적(partial trace)” 개념을 정형화한다. 부분 추적은 각 객체 U에 대해 부분 함수 Tr_U : C(A⊗U, B⊗U) ⇀ C(A, B) 로 정의되며, 자연성, 다이내터널리티, 강도(strength), Vanishing I, Vanishing II, yanking 등 여섯 가지 공리를 만족한다. 여기서 중요한 점은 Tr_U가 전역적으로 정의되지 않을 수 있다는 점이며, 이를 표현하기 위해 Kleene 동등성(✄  ✂ ✁)과 직접적인 Kleene 동등성(✄ ✂)을 도입한다.

핵심 정리는 두 부분으로 나뉜다. 첫 번째는 “표현 정리”로, 임의의 부분 추적 대칭 모노이달 범주 C를 완전 추적 대칭 모노이달 범주 D에 전사적이고 보존적인(fully faithful) 모노이달 함자 F: C → D가 존재함을 보인다. 이때 D는 Freyd가 제시한 파라카테고리 구조를 이용해 C의 객체와 부분 사상들을 “완전화”한 뒤, Joyal‑Street‑Verity의 Int‑구성을 부분적으로 적용해 얻어진다. 특히, 파라카테고리의 합성은 정의되지 않은 경우를 명시적으로 다루어 부분 추적의 정의역을 보존한다.

두 번째는 역방향 결과로, 완전 추적 범주 D의 대칭 모노이달 부분범주 C⊆D에 대해 자연스럽게 부분 추적 연산 Tr_U를 제한함으로써 C가 부분 추적 범주가 됨을 증명한다. 여기서는 완전 추적 연산의 전역성으로부터 Vanishing II와 yanking 공리를 그대로 물려받는 점을 이용한다.

논문은 또한 구체적인 예시로 (Vect, ⊕)와 같은 벡터 공간 범주에 대한 부분 추적을 탐구한다. 여기서는 Kleene trace와 sum trace라는 두 후보가 제시되지만, Vanishing II를 만족하지 못해 부분 추적 공리를 위반한다는 반례를 제시한다. 반면 Haghverdi‑Scott이 제안한 “feedback” 형태의 부분 추적은 Vanishing II를 만족하며, 실제 GoI 모델링에 적합함을 보인다.

기술적으로 가장 눈에 띄는 점은 파라카테고리와 Int‑구성을 부분적으로 결합함으로써, 기존의 전역적인 trace 구조를 부분화하면서도 카테고리론적 일관성을 유지한다는 점이다. 이는 부분적으로 정의된 연산을 다루는 다른 분야(예: 부분 함수형 프로그래밍, 부분 미분 가능성)에도 적용 가능성을 시사한다.