확률적 셀룰러 오토마타와 전방향 i.i.d. 무작위 장

초록

이 논문은 이진 알파벳을 갖는 1차원 확률적 셀룰러 오토마타(PCA)의 가장 단순한 형태를 연구한다. 각 셀은 자신의 현재 상태와 오른쪽 이웃의 상태만을 이용해 새로운 값을 확률적으로 선택한다. 네 개의 전이 확률에 대한 필요충분조건을 제시하여 베르누이 곱형 불변 측도를 갖는 경우를 규명한다. 베르누이 불변 측도에서 시작한 경우, 시공간 다이어그램이 형성하는 무작위 장은 모든 방향(수평, 대각선 등)에서 i.i.d. 성질을 보이며, 매우 약한 의존성을 가진다. 또한 마코프 불변 측도와 알파벳·이웃 범위가 확대된 경우로의 일반화도 논의한다.

상세 분석

본 연구는 1차원 격자 ℤ 위에 정의된 이진 셀룰러 오토마타를 확률적 전이 규칙으로 확장한 확률적 셀룰러 오토마타(PCA)를 대상으로 한다. 각 셀 i의 상태 X_t(i)∈{0,1}는 시간 t에서 동시에 업데이트되며, 새로운 상태 X_{t+1}(i)는 (X_t(i), X_t(i+1))라는 두 개의 로컬 입력에만 의존한다. 전이 확률은 네 개의 파라미터 p_{00}, p_{01}, p_{10}, p_{11}으로 완전히 기술된다(예: p_{ab}=P