균일 무작위 양성 브레이드 생성 알고리즘

본 논문은 “양성 브레이드”라 불리는 B⁺ₙ(Artin 생성자 {σ₁,…,σ_{n-1}}로 생성되는 모노이드를)에서 주어진 길이 k의 원소를 균일하게 무작위 추출하는 문제를 다룬다. 서론에서는 기존에 널리 쓰이는 두 가지 방법—(1) k번 독립적으로 σ_i를 균등 선택하고 곱하는 방법, (2) 단순 브레이드 집합을 균등하게 선택하고 길이가 부족하면 재시도하는 방법—이 실제 분포는 크게 편향되어 있음을 예시와 함께 설명한다. 특히 B⁺₄에서 길이 6인 경우 σ₁⁶이 3⁻⁶ 확률로, 반면 Δ=σ₁σ₂σ₁σ₃σ₂σ₁이 16·3⁻⁶ 확률로 나타나는 등, 특정 브레이드가 과도하게 많이 생성되는 현상을 지적한다. 이를 해결하기 위해 저자들은 “lex‑representative” 개념을 도입한다. 정의에 따르면, 임의의 양성 브레이드 β에 대해 ω(β)=min_{lex}{w∈A⁎ₙ | b(w)=β} 로, 사전순 최소 단어를 선택한다. 이 ω는 B⁺ₙ의 동질성(동일 길이) 때문에 길이가 고정된 원소에 대해 유일하게 정의되며, b|_{Lₙ,ₖ}:Lₙ,ₖ→(B⁺ₙ)ₖ는 전단사이다. 따라서 (B⁺ₙ)ₖ에서 균일하게 뽑는 문제는 Lₙ,ₖ에서 균일하게 뽑는 문제와 동치가 된다. 알고리즘은 크게 세 단계로 구성된다. (1) xₙ,ₖ=|Lₙ,ₖ|을 계산한다. (2) 1≤r≤xₙ,ₖ를 균등하게 선택한다. (3) 사전순으로 정렬된 Lₙ,ₖ에서 r번째 단어 w(r)를 찾는다. 단계 (1)에서는 Bronfman이 제시한 성장 함수 Gₙ(t)=∑ₖ xₙ,ₖ tᵏ와 그 역함수 Hₙ(t) 를 이용한다. Hₙ(t)는 재귀식 Hₙ(t)=n∑_{i=1}^{n}(-1)^{i+1} t^{i²} H_{n-i}(t) 로 정의되며, 이를 전개해 계수 h_{n,m}를 구한다. 이후 xₙ,ₖ는 xₙ,ₖ=−∑_{j=1}^{min(k,⌊n²/2⌋)} xₙ,ₖ₋ⱼ h_{n,j} 로 순차 계산된다. 이 과정은 O(n·k) 시간·공간을 요구한다. 단계 (3)에서 핵심은 접두어 카운팅 함수 xₙ,ₖ(w,m)이다. 여기서 w는 현재까지 결정된 접두어, m은 다음에 허용될 최소 생성자 인덱스를 의미한다. xₙ,ₖ(w,m)은 w를 앞에 두고, 뒤에 오는 단어가 σ₁,…,σ_m 중 어느 것도 처음에 사용하지 않을 때 가능한 lex‑representative의 개수를 반환한다. 이 값을 이용해 이진 탐색으로 각 자리의 문자를 선택한다. 구체적으로, 현재 ν=xₙ,ₖ−r 라고 두고, w의 마지막 문자 인덱스를 j라 하면, i=최소 m∈