단일 단어 순열로 만든 무한 삼진 제곱 자유 문자열

초록

Harju의 질문에 답하여, 길이 $n\ge13$인 $n$‑stem 분해를 갖는 무한 제곱‑자유 삼진 단어가 존재함을 보였다. 또한 모든 $k\ge23$에 대해 길이 $k$인 균일 삼진 모프함수를 구성해, 저자와 Rampersad이 제기한 문제를 거의 완전히 해결하였다.

상세 분석

본 논문은 조합론적 단어 이론에서 오래된 문제인 “제곱‑자유 삼진 단어가 특정 형태의 반복 구조를 가질 수 있는가”에 대한 새로운 해답을 제시한다. 핵심 개념은 $n$‑stem factorization이다. 길이 $n$인 단어 $s$를 고정하고, 무한 단어 $w$를 $w=s_1s_2s_3\cdots$ 형태로 쓰되, 각 $s_i$가 $s$의 순열(permutation)이어야 한다는 제약이다. 즉, $w$는 하나의 기본 블록 $s$의 모든 순열을 차례대로 이어 붙인 형태이며, 동시에 제곱‑자유(sqaure‑free)라는 강한 제한을 만족해야 한다.

Harju는 2000년대 초에 “$n$‑stem 제곱‑자유 삼진 단어가 존재하는 최소 $n$은 얼마인가?”라는 질문을 제기했으며, 기존 연구에서는 $n\ge13$에 대한 존재 여부만이 미해결이었다. 저자는 이를 해결하기 위해 두 단계의 전략을 채택한다. 첫 번째는 균일 모프함수(uniform morphism) $\varphi:{0,1,2}\to{0,1,2}^k$를 설계하는 것이다. 여기서 $k$는 이미지 길이이며, $\varphi$가 제곱‑자유 보존(square‑free preserving) 특성을 갖도록 해야 한다. 두 번째는 $\varphi$의 고정점 $w=\varphi^\infty(a)$ (임의의 문자 $a$)을 이용해 $w$를 $n$‑stem 형태로 재구성하는 것이다.

핵심 기술은 다음과 같다. (1) 패턴 차단: $\varphi$의 정의역에 포함되는 모든 길이 $≤2k$의 부분단어를 열거하고, 그 중 제곱을 만들 가능성이 있는 경우를 체계적으로 배제한다. (2) 순열 블록 설계: 기본 블록 $s$를 $\varphi$의 이미지 중 하나로 잡고, $\varphi$가 적용될 때마다 $s$의 순열이 자연스럽게 생성되도록 $\varphi$를 설계한다. 이를 위해 저자는 $k\ge23$인 경우에만 가능한 3‑사이클 구조를 이용한다. (3) 증명 기법: 무한히 반복되는 구조를 갖는 고정점이 제곱‑자유임을 보이기 위해, **돌연변이(critical exponent)**와 연속성(continuity) 개념을 도입해, 모든 가능한 겹침 상황을 유한히 검증한다.

특히 $k\ge23$이면, $\varphi$의 이미지가 서로 다른 3개의 문자에 대해 균등하게 분포하고, 각 이미지 내부에 “00”, “11”, “22”와 같은 이중문자가 절대 포함되지 않도록 설계할 수 있다. 이는 제곱‑자유성을 보장하는 핵심 조건이다. 또한, $n$‑stem 분해를 위해서는 $n$이 $k$의 배수이거나 $k$와 서로소인 경우에 따라 두 가지 경우를 나누어 다루며, $n\ge13$이면 항상 적절한 $k$를 선택해 $n$‑stem 구조를 만들 수 있음을 증명한다.

결과적으로, 저자는 모든 $n\ge13$에 대해 $n$‑stem 제곱‑자유 삼진 무한 단어가 존재함을 보였으며, 모든 $k\ge23$에 대해 제곱‑자유를 보존하는 균일 삼진 모프함수를 명시적으로 제시했다. 이는 Harju의 질문을 완전히 해결하고, 저자와 Rampersad이 제시한 “길이 $k$인 균일 모프함수 존재 여부” 문제를 거의 전부 해결한 셈이다.

이 논문의 의의는 두fold이다. 첫째, 제곱‑자유 단어의 구조적 다양성을 크게 확장함으로써, 기존에 알려진 Thue‑Morse와 같은 고전적인 예시를 넘어선 새로운 무한 단어 클래스를 제공한다. 둘째, 균일 모프함수의 존재 범위를 $k\ge23$까지 넓힘으로써, 자동화된 단어 생성 알고리즘 설계에 실용적인 기반을 마련한다. 향후 연구에서는 $k$의 하한을 더 낮추거나, $n$‑stem 구조를 다른 알파벳 크기로 일반화하는 방향이 기대된다.