변분법을 이용한 ODE 파라미터 및 입력 코스 추정

초록

본 논문은 변분법을 활용해 비자율 미분방정식에서 외부 입력 함수와 내부 상태를 동시에 추정하는 방법을 제시한다. 입력을 자유 함수로 두고 χ² 함수의 변분을 수행해 보조 변수 u를 도입한 확대된 ODE 시스템을 유도한다. 이 시스템을 경계값 문제로 풀어 입력의 불확실성을 정량화하면서 파라미터와 초기값을 정확히 추정한다. 시뮬레이션 예제로 작은 네트워크에서 입력이 희소하게 측정될 때도 기존 고정 입력 방식보다 편향이 적고 신뢰구간이 올바르게 계산되는 것을 보인다.

상세 분석

논문은 기존 ODE 기반 모델링에서 파라미터 추정은 가능하지만, 외부 입력(x(t))을 무한 차원의 파라미터 집합으로 취급해야 하는 문제점을 지적한다. 이를 해결하기 위해 입력을 함수 자체로 최적화 변수로 두고, 전체 χ²(또는 로그우도) 함수를 함수형(functional)으로 정의한다. 변분 미분을 적용하면 입력에 대한 일차 변분 δχ²가 0이 되도록 하는 조건식이 도출되며, 이는 보조 변수 u(t)와의 연동을 통해 다음과 같은 확대된 ODE 시스템을 만든다.

1. 원래 시스템: ẏ = f(y, x, p)
2. 보조 방정식: ẋ = –∇ₓf·u – resₓ (식 5)
3. 보조 변수 동역학: ẋu = –∇_yf·u – res_y (식 6)
4. 경계조건: y(0)=y₀, u(T)=0

여기서 res_y와 res_x는 각각 측정값과 모델 예측값의 가중 잔차이며, Φ는 선형화된 동역학의 기본 해를 나타낸다. 입력이 선형적으로 나타나는 경우 ∇ₓf가 x에 독립적이므로 식(5)를 직접 풀어 x = Sₓ – S_σ²ₓ ∇ₓfᵀ u 로 얻을 수 있다. 비선형 경우에도 국소적으로는 암시적 함수정리로 x(u,y)를 정의할 수 있다. 따라서 입력은 더 이상 외부 고정 함수가 아니라 시스템 상태와 동등한 차원으로 취급된다.

수치 구현에서는 연속적인 데이터 전처리 S_y, S_x, S_σ를 스무딩 스플라인이나 가우시안 커널로 정의한다. 이렇게 하면 측정점이 희소하거나 잡음이 큰 경우에도 입력의 불확실성을 자연스럽게 반영할 수 있다. 최적화는 확대된 시스템을 경계값 문제로 풀고, 이후 파라미터(p)와 초기값(y₀)에 대해 전통적인 비선형 최소제곱(가우스-뉴턴) 절차를 적용한다. 신뢰구간은 보조 변수 u를 포함한 전체 상태공간에 대한 MCMC 샘플링이나 프로파일 우도 방법으로 추정한다.

시뮬레이션에서는 A↔B 반응에 외부 촉진제 x(t)가 작용하는 간단한 모델을 사용한다. 입력을 20개의 시점에서 측정한 경우와 4개의 시점만 측정한 경우를 비교했으며, 전자는 고정 입력 방식과 변분 방식이 모두 정확했지만, 후자는 변분 방식이 입력을 거의 완벽히 복원하고 파라미터 편향을 없앴다. 이는 입력에 대한 불확실성을 고려하지 않은 고정 입력 접근법이 실제 데이터에서 과소평가된 신뢰구간과 편향된 파라미터를 초래함을 보여준다. 또한, 입력이 양수 제약을 만족하도록 새로운 변수 d(t)와 식(11)를 도입해 비선형 입력도 선형 형태로 변환할 수 있음을 제시한다. 전체적으로 변분법은 제어이론과 통계학을 연결해 ODE 모델링에서 입력 추정 문제를 체계적으로 해결한다.