스마트 쇼핑 뒤의 프랙탈

초록

‘최소 동전 지불법’은 지갑에 들어 있는 동전 수를 최소화하도록 거스름돈을 선택하는 방법이다. 저자는 이 방법을 반복했을 때 발생하는 거스름돈 시계열을 분석하고, 연속된 거스름돈의 차이를 나타내는 지연 플롯이 시어핀스키 가스킷과 동일한 미세 구조를 보임을 확인한다. 평균 동전 수를 계산해 최소 지불법이 가장 효율적임을 입증하고, 규칙‑60 셀룰러 오토마톤 및 파스칼‑시어핀스키 가스킷과의 연관성을 논한다.

상세 분석

본 논문은 일상적인 금전 거래에서 “동전 최소화”라는 실용적 목표를 수학적·물리적 모델링으로 승화시킨다. 저자는 먼저 ‘최소 지불법(minimal payment)’을 정의한다. 이는 소비자가 물건 가격을 지불할 때, 현재 지갑에 보유한 동전 조합 중 거스름돈을 포함한 전체 동전 수가 최소가 되도록 지불액을 선택하는 전략이다. 이 전략을 반복 적용하면 매 거래마다 거스름돈이 결정되고, 그 연속적인 값들의 시계열이 생성된다.

시계열 분석에 있어 핵심 도구는 ‘지연 플롯(delay plot)’이다. 두 연속된 거스름돈 값을 (xₙ, xₙ₊₁) 좌표에 매핑함으로써, 데이터 포인트가 차지하는 영역을 시각화한다. 저자는 이 플롯이 전형적인 시어핀스키 삼각형(가스킷) 형태를 띤다는 것을 발견한다. 구체적으로, 동전 체계가 1, 5, 10, 50, 100, 500 원과 같이 5배 비례 구조를 가질 때, 각 동전 단위는 이진 혹은 5진 디지털 표현에 대응한다. 최소 지불법은 매 거래마다 이진(또는 5진) ‘캐리’ 연산을 수행하게 되며, 그 결과가 지연 플롯에 자기유사적 패턴을 만든다.

수학적으로는 규칙‑60(rule‑60) 셀룰러 오토마톤과 동등한 전이 규칙을 보인다. 규칙‑60은 각 셀의 다음 상태가 현재 셀과 왼쪽 이웃의 XOR 연산으로 정의되는데, 이는 동전의 ‘보유 여부(0/1)’와 ‘거스름돈 발생 여부’를 XOR 연산으로 결합한 것과 일치한다. 따라서 시계열의 전이 행렬은 파스칼 삼각형을 2로 나눈 나머지를 구한 ‘파스칼‑시어핀스키 가스킷’과 동일한 구조를 만든다.

효율성 평가는 평균 동전 수(average number of coins)로 수행된다. 시뮬레이션 결과, 최소 지불법을 적용한 경우 평균 동전 수가 기존 무작위 지불법이나 ‘큰 동전 우선’ 전략보다 현저히 낮았다. 특히, 동전 종류가 많고 각 단위가 5배씩 증가하는 경우(예: 일본 엔, 한국 원)에서 그 차이는 20 % 이상으로 나타났다. 이는 동전 교환 과정에서 발생하는 ‘불필요한 캐리’를 최소화함으로써 지갑 무게와 부피를 실질적으로 감소시킨다.

마지막으로 저자는 이 현상이 단순히 통계적 우연이 아니라, 이산 프랙탈 구조와 깊은 연관이 있음을 강조한다. 시어핀스키 가스킷은 무한히 반복되는 자기유사성을 갖는 집합으로, 최소 지불법이 만든 거스름돈 시퀀스 역시 같은 자기유사성을 보인다. 따라서 일상적인 금전 거래가 복잡계 이론과 프랙탈 기하학의 적용 사례가 될 수 있음을 시사한다.