삼각형이 없는 그래프의 식별 코드 크기 상한

초록

본 논문은 연결된 식별 가능 삼각형-프리 그래프 G(정점 수 n, 최대 차수 Δ≥3)에 대해 최소 식별 코드 크기 M(G)가
(M(G)\le n-\frac{n}{\Delta+o(\Delta)})
임을 증명한다. 이 결과는 (Δ‑1)-ary 트리와 같은 기존 예시와 차수에 대한 상수 차이만 남겨 두어 차수 의존적인 최적성에 가깝다. 또한 삼각형-프리 그래프의 특정 부분군에 대해 더 강한 상한을 제시하고, 모든 비자명 연결 식별 그래프에 대해 (M(G)\le n-\frac{n}{\Delta}+c) 형태의 상수가 존재한다는 conjecture을 제시한다.

상세 분석

식별 코드는 그래프 이론과 네트워크 감시 분야에서 핵심적인 개념으로, 정점 집합 C가 지배 집합이면서 각 정점이 C와의 인접 관계에 의해 고유하게 식별될 때 성립한다. 기존 연구는 주로 일반 그래프 혹은 특정 구조(예: 트리, 그리드)에서의 최소 식별 코드 크기 M(G)를 조사했으며, 차수 Δ에 대한 상한은 대체로 (n-O!\left(\frac{n}{\Delta}\right)) 형태였다. 그러나 삼각형이 없는, 즉 C₃이 존재하지 않는 그래프에 대한 정밀한 분석은 부족했다.

본 논문은 이러한 공백을 메우기 위해, 연결된 식별 가능 삼각형‑프리 그래프 G에 대해 다음과 같은 주요 정리를 증명한다.
정리 1. (G)가 n개의 정점과 최대 차수 Δ≥3을 갖는 경우,
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