정규동형 임베딩 정리와 위상 지수 사상

초록

본 논문은 적절한 군로이드 작용 하에서 평활 사상을 ‘정규 비특이 사상’으로 분해하는 방법을 제시한다. 제로 섹션, 열린 포함, 벡터다발 사영으로 구성된 이 분해는 위상 지수 사상의 모델이 되며, 적절한 벡터다발 존재 가정 아래 모든 평활 사상이 이러한 분해를 갖고, 그 분해는 일정한 동등성 아래 유일함을 증명한다. 이를 위해 Mostow 임베딩 정리를 군로이드 버전으로 일반화하고, 코호몰로지 이론에 대한 방향성을 정의하여 잘못된 방향의 사상을 구축한다. K‑방향성을 갖는 경우에는 Kasparov의 KK‑이론으로의 함수를 얻어 위상 지수 사상을 해석한다.

상세 분석

논문은 먼저 ‘정규 비특이 사상(normaly non‑singular map)’이라는 새로운 개념을 정의한다. 이는 주어진 평활 사상을 세 가지 기본 사상(벡터다발의 영섹션, 열린 포함, 벡터다발 사영)의 합성으로 표현하는 구조이며, 각 단계는 적절한 G‑벡터다발 위에서 이루어진다. 이러한 분해는 전통적인 임베딩 정리와 달리, 군로나 군 작용이 존재하는 상황에서도 적용 가능하도록 설계되었다. 핵심 가정은 ‘적절한 G‑벡터다발이 충분히 존재한다’는 전제이며, 이는 대부분의 정상적인proper Lie groupoid에 대해 만족한다. 이 가정 하에 저자는 모든 G‑평활 사상이 정규 비특이 분해를 가짐을 보이며, 두 분해가 ‘동형 사상과 동등한 벡터다발 동형’에 의해 서로 연결될 수 있음을 증명한다. 이를 위해 Mostow 임베딩 정리를 군로이드에 맞게 확장하는데, 여기서는 proper groupoid action을 이용해 사상 대상 공간을 충분히 큰 G‑벡터다발에 임베딩하고, 그 임베딩을 다시 영섹션과 사영으로 분해한다. 이 과정에서 사용되는 기술은 G‑불변 메트릭, G‑불변 연결, 그리고 전역적인 전단사(전단사) 구조를 포함한다. 이후 저자는 코호몰로지 이론 E에 대한 ‘방향성(orientation)’을 정의한다. 구체적으로, 정규 비특이 사상이 E‑방향을 갖는다면, 해당 사상은 E‑코호몰로지에서 ‘잘못된 방향(wrong‑way)’ 사상 f! : E*(Y) → E*(X) 를 유도한다. K‑이론을 선택하면, K‑방향성을 갖는 정규 비특이 사상은 Kasparov의 KK‑이론에서 클래스