귀납 없이도 가능한 수열 인코딩: PA⁻의 순차성 증명

초록

본 논문은 귀납 공리 없이도 전통적인 페아노 산술의 보편적 부분인 PA⁻가 Pudlák이 정의한 순차 이론(sequential theory)임을 보인다. 이를 위해 PA⁻ 내에서 유한 수열을 코딩하고, 연결·추출 연산을 정의하는 구체적 방법을 제시한다. 결과적으로 Robinson의 Q와 달리 PA⁻는 수열 인코딩을 지원함을 확인한다.

상세 분석

PA⁻는 0, 후계자 S, 덧셈 +, 곱셈 ×, 순서 ≤에 대한 언어와, Robinson Q의 기본 방정식과 함께 모든 보편적 페아노 공리를 포함한다. 귀납 스키마가 없으므로 전통적인 증명 기법이 제한되지만, 저자는 보편적 공리만으로도 충분히 강력한 코딩 메커니즘을 구축한다. 핵심은 Gödel β‑함수와 유사한 이항 함수 ⟨x,y⟩를 정의하고, 이를 이용해 유한 수열 ⟨a₀,…,aₙ⟩을 하나의 자연수 c에 인코딩하는 것이다. PA⁻는 기본적인 정수론적 사실, 예컨대 두 수의 최대공약수와 최소공배수의 존재, 그리고 유클리드 알고리즘의 전개를 보편적 공리로부터 증명할 수 있다. 이러한 사실을 활용해 ⟨x,y⟩가 쌍을 일대일 대응시키는 것을 보이고, 수열 코딩을 위한 “분할 함수”와 “연결 함수”를 정의한다. 특히, 연산 concat(c,d) = 코드(a₀,…,aₙ,b₀,…,bₘ)를 정의할 때, PA⁻는 각 원소를 적절히 이동시키는 선형 변환을 보편적 공리만으로 증명한다. 또한, 수열의 i번째 원소를 추출하는 함수 proj_i(c)도 동일한 방식으로 정의된다. 이러한 정의가 모두 PA⁻ 내에서 ∆₀‑정의 가능함을 보이며, 연산들의 폐쇄성도 보편적 공리만으로 확인한다. 결과적으로 PA⁻는 Pudlák이 제시한 “순차 이론”의 세 가지 요건—코딩 함수, 연결 함수, 그리고 프로젝션 함수—을 만족한다. 반면 Robinson Q는 이러한 함수들을 정의하는 데 필요한 정수론적 도구가 부족해 순차성이 결여된다. 저자는 또한 PA⁻가 순차성을 가짐으로써, 귀납이 없어도 복잡한 메타수학적 구조(예: 내부 모델, 해석 가능성)를 구축할 수 있음을 시사한다.