평면 내 일부 볼록 집합에 대한 동일 시야각 곡선

초록

볼록 집합 K의 시야각이 일정한 점들의 궤적 C를 정의하고, 그 암시적 식을 제시한다. 파라볼라, 사인 곡선, 타원 등 여러 예제에 대해 명시적·수치적 계산 방법을 설명하고, 오픈소스 도구(Sage, Python 등)를 활용한 구현 과정을 보여준다.

상세 분석

본 논문은 평면상의 볼록 집합 K(경계가 닫히고 반드시 유계일 필요는 없으며, 엄격히 볼록일 수도, 아닐 수도 있다)에 대해, 외부 점 X에서 K를 포함하는 최소 원뿔의 꼭짓점 각, 즉 시야각 φ(X,K)를 정의한다. 주어진 각 α(0≤α<π)에 대해 φ(X,K)=α를 만족하는 점들의 집합을 C(α,K)라 명명하고, 이를 “동일 시야각 곡선”이라 부른다.

먼저, 간단한 예제로 두께 W가 있는 웨지를 고려한다. 내부 각 β와 비교해 α<β이면 C는 공집합, α=β이면 회전된 웨지 자체, α>β이면 원래 웨지와 반대 방향에 2α−β의 각을 갖는 새로운 웨지가 C가 된다. 이를 통해 C가 경우에 따라 2차원 영역이 될 수도, 1차원 선분이 될 수도 있음을 확인한다.

다음으로, 엄격히 볼록하고 무한한 집합인 포물선 Q={ (x,y) | y≥x² }를 다룬다. 외부 점 A=(x₁,y₁)에서 Q에 접하는 두 접선의 기울기 k₁,k₂를 구하고, 접선 사이 각의 탄젠트가 tan α와 일치하도록 하는 방정식
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