다각형 거리합의 새로운 부등식과 최대 둘레 문제

초록

단위 둘레를 가진 n각형의 정점 사이 거리와 거리 제곱 합에 대한 상하한을 일반(비볼록) 경우까지 확장하였다. 또한 반지름 1인 원 안에 포함되는 홀수 n각형의 최대 둘레에 대한 기존 결과를 보다 간결한 증명으로 제시하고, 단순성 조건을 없앨 경우의 정확한 공식도 도출하였다.

상세 분석

본 논문은 두 개의 주요 연구축을 갖는다. 첫 번째는 “단위 둘레를 갖는 다각형의 정점 쌍 사이 거리 합(∑|AiAj|) 및 거리 제곱 합(∑|AiAj|²)”에 대한 최솟값·최댓값을 구하는 것이다. 기존 문헌에서는 주로 볼록 다각형에 한정된 결과만이 알려져 있었으며, 비볼록(자기교차를 허용하거나 오목한) 경우는 거의 다루어지지 않았다. 저자들은 먼저 삼각형, 사각형, 그리고 일반 n각형에 대해 “정점 배열이 원주 위에 고르게 배치될 때”와 “모든 정점이 한 점에 모일 때” 두 극단 상황을 분석한다. 이를 통해 거리 합의 하한은 정점이 한 점에 집중될 때 0에 수렴하고, 상한은 정점이 원주에 균등하게 배치될 때 (n·sin(π/n))에 근접함을 보인다. 특히 거리 제곱 합에 대해서는 파라볼라 형태의 라그랑주 승수를 이용해 최적화 문제를 정형화하고, 비볼록 다각형에서도 동일한 상한식이 성립함을 증명한다. 이 과정에서 “정점 순서가 뒤섞여도 거리 합은 순서에 무관하게 동일한 상한을 갖는다”는 중요한 사실을 도출한다.

두 번째 연구축은 Braß가 제기한 “반지름 1인 원 안에 포함되는 홀수 n각형의 최대 둘레” 문제이다. Audet·Hansen·Mousavi(2009)는 복잡한 조합론적 논증을 통해 정확한 공식 P_max = n·sin(π/(2n))·2 를 제시했지만, 증명이 길고 직관성이 떨어졌다. 본 논문은 먼저 원 내부에 모든 변이 원호와 접하도록 배치할 경우가 최적임을 보여주는 간단한 기하학적 레마를 제시한다. 그 후, 각 변을 원의 접선으로 생각하고 삼각법을 적용해 각 변의 길이를 2·sin(θ_i/2) 형태로 표현한다. 여기서 θ_i는 해당 변이 차지하는 중심각이며, ∑θ_i = π (홀수 n인 경우)임을 이용해 라그랑주 승수법으로 최적화를 수행하면 바로 P_max = 2n·sin(π/(2n))을 얻는다.

마지막으로 단순성(simple) 조건을 제거한 경우를 고려한다. 단순 다각형이 아니어도 원 안에 포함될 수 있는 경우, 변들이 서로 교차하면서도 전체 둘레를 늘릴 수 있다. 저자들은 교차가 허용될 때 각 변을 가능한 가장 큰 길이인 2(즉, 원의 지름)로 만들 수 있음을 보이고, n이 홀수이면 교차 구조를 이용해 (n−1)개의 변을 지름 길이로, 나머지 한 변은 남은 호에 맞춰 배치하면 총 둘레는 2(n−1)+2·sin(π/(2n))가 된다. 이를 정리하면 비단순 경우의 최대 둘레는 P’_max = 2n−2+2·sin(π/(2n))이며, 이는 기존 단순 경우 공식보다 항상 크다.

전체적으로 논문은 비볼록 다각형에 대한 거리 합 부등식의 일반화를 통해 기존 결과의 범위를 크게 확장하고, 원 안에 포함되는 다각형의 최대 둘레 문제에 대해 더 직관적이고 간결한 증명을 제공한다. 또한 단순성 조건을 완화했을 때의 새로운 최적값을 정확히 제시함으로써 기하학적 최적화 문제에 대한 이해를 한층 깊게 만든다.