새로운 곱 정의를 이용한 로그정규분포의 일·양측 일반화

초록

본 논문은 Borges가 제안한 q‑곱을 활용해 기존의 로그정규분포를 확장한 새로운 확률분포를 제시한다. q 값에 따라 꼬리의 두께가 조절되며, q=1일 때는 기존 로그정규분포와 동일하다. 이 분포의 통계적 특성, 난수 생성 알고리즘, Kolmogorov‑Smirnov 검정용 분위수표를 제공하고, 생물학·금융 데이터에 적용해 적합성을 검증한다.

상세 분석

논문은 먼저 로그정규분포가 곱셈적 랜덤 워크, 즉 Kaypten의 곱셈 과정에 기반한다는 점을 상기한다. 기존 모델에서는 독립적인 정규분포 변수들의 합을 지수함수로 변환해 로그정규분포를 얻지만, 실제 현상에서는 곱셈 연산 자체가 비선형적이거나 비가우시안적인 상호작용을 보일 수 있다. 이를 해결하고자 저자들은 Borges(2004)의 q‑곱 연산 ⊗_q 를 도입한다. q‑곱은 일반적인 곱셈을 q‑지수와 q‑로그를 통해 재정의한 연산으로, q=1이면 표준 곱과 일치하고 q≠1이면 확률 질량이 크게 변형된다.

수학적으로, X_i (i=1,…,N)를 독립적인 정규분포 N(μ,σ²) 변수라 할 때, 기존 로그정규분포는 Y=exp(∑{i=1}^N X_i) 로 정의된다. 저자들은 이를 Y_q = exp_q(⊗{i=1}^N X_i) 로 바꾸어, exp_q는 q‑지수 함수이며 ⊗_q는 q‑곱이다. 이 정의를 통해 얻어지는 확률밀도함수(p.d.f.)는
f_q(y)=\frac{1}{y,\sigma\sqrt{2\pi}} \exp!\Big