선형 시스템과 듀헴 히스테리시스 비선형의 안정성 분석 및 제어 설계

초록

본 논문은 선형 시스템과 듀헴 형태의 히스테리시스 연산자를 피드백으로 연결했을 때의 안정성을 조사한다. 선형 시스템과 히스테리시스 연산자가 각각 시계 반시계(CW/CCW) 입력‑출력 특성을 가질 경우, 라플라스 변환 기반의 LMI 조건을 통해 충분조건을 제시한다. 이를 바탕으로 히스테리시스가 포함된 액추에이터·센서를 가진 선형 플랜트를 정확한 모델 없이도 안정화할 수 있는 제어 설계 절차를 제안한다.

상세 분석

이 논문은 비선형 히스테리시스 현상을 수학적으로 모델링하는 듀헴 연산자를 활용한다. 듀헴 연산자는 입력 u와 출력 y 사이에 미분 방정식 (\dot y = f(u,\dot u) + g(u,\dot u) y) 형태로 정의되며, 입력의 증가·감소 구간마다 서로 다른 동적 곡선을 따라가게 된다. 이러한 특성은 입력‑출력 평면에서 시계 반시계(CW) 혹은 반시계(Counter‑Clockwise, CCW) 회전성을 나타내며, 이는 시스템의 에너지 흐름을 파악하는 데 유용한 ‘포시비티(수동성)’ 개념과 연결된다.

논문은 먼저 선형 시스템 (G(s))가 CW 혹은 CCW 특성을 갖는 경우를 정의한다. CW 특성은 (\int_0^T u(t)^\top \dot y(t) dt \ge -\beta) 형태의 부정적 에너지 저장을 의미하고, CCW 특성은 (\int_0^T y(t)^\top \dot u(t) dt \ge -\alpha) 로 표현된다. 듀헴 연산자 역시 동일한 형태의 부정적/정적 에너지 저장 함수를 통해 CW 또는 CCW 로 분류된다.

핵심 정리는 두 시스템을 피드백으로 연결했을 때, 하나가 CW이고 다른 하나가 CCW이면 전체 시스템이 내부적으로 에너지를 소모하게 되어 전역적인 안정성을 보장한다는 점이다. 이를 수학적으로 증명하기 위해 저자는 라플라스 변환 기반의 선형 행렬 부등식(LMI) 접근법을 채택한다. 구체적으로, 선형 시스템의 상태공간 표현 (\dot x = A x + B u,; y = C x + D u)에 대해, 존재하는 양정정수 (P>0)와 스칼라 (\lambda>0)가 다음 부등식을 만족하면 CW/CCW 조건을 만족한다는 것을 보인다.

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